Главная » 2012»Ноябрь»14 » Задание фигур на координатной плоскости уравнениями и неравенствами
11:56
Задание фигур на координатной плоскости уравнениями и неравенствами
12
дек 2011
Задание фигур на координатной плоскости уравнениями и неравенствами
Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y). Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.
Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.
Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.
Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).
Пример 1.
Построить график уравнения x2 – 9y2 = 0.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.
Ответ: рисунок 1.
Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.
Первое уравнение равносильно системе
{f(x) 0, {y = f(x) или y = -f(x).
То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) 0.
Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).
Пример 2.
Построить график уравнения |y| = 2 + x.
Решение.
Заданное уравнение равносильно системе
{x + 2 0, {y = x + 2 или y = -x – 2.
Строим множество точек.
Ответ: рисунок 2.
Пример 3.
Построить график уравнения |y – x| = 1.
Решение.
Если y x, то y = x + 1, если y x, то y = x – 1.
Ответ: рисунок 3.
При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей, основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.
Пример 4.
Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.
Решение.
В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.
1) В первой координатной четверти x 0 и y 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:
2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.
2) Во второй четверти, где x < 0, а y 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) В третьей четверти x < 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) В четвертой четверти, при x 0, а y < 0 получим, что x = 1.
График данного уравнения будем строить по четвертям.
Ответ: рисунок 4.
Пример 5.
Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.
Решение.
Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.
Область Знак подмодульного выражения Полученное уравнение после раскрытия модуля I x 1 и y 1 x + y = 3 II x < 1 и y 1 -x + y = 1 III x < 1 и y < 1 x + y = 1 IV x 1 и y < 1 x – y = 1
Ответ: рисунок 5.
На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами.
Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.
Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными:
Записать уравнение, соответствующее неравенству.
Построить график уравнения из пункта 1.
Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
Изобразить графически множество всех решений неравенства.
Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.
Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.
1) ax + bx + c 0. Рисунок 6.
2) |x| a, a > 0. Рисунок 7.
3) x2 + y2 a, a > 0. Рисунок 8.
4) y x2. Рисунок 9.
5) xy 1. Рисунок 10.
Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как тарифный план.
Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости? Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь. Первый урок – бесплатно!
Катя: как изобразить двойное неравенство икс больше или равно -1 но меньше или равно 1
Марина: помогите решить задание: На координатной плоскости изобразить множество точек, удоблетворяющие неравеству: |x+y|>|x-y|