Математика XIX века. Эволюция геометрии.

Создание проективной геометрии.

Проективная геометрия как самостоятельная дисциплина окончательно сформировалась в первой половине XIX в., хотя ее предыстория восходит еще к античной эпохе, что можно видеть из дошедшего до нас труда Паппа Александрийского. В дальнейшем элементы проективных понятий постепенно складываются в книгах по перспективе художников и архитекторов эпохи Возрождения. Некоторые проективные понятия появляются у И. Кеплера, И. Ньютона и Г. Лейбница. В XVII в. Ж. Дезарг и, следуя ему, Б. Паскаль устанавливают ряд важных теорем, относящихся к проективным свойствам фигур, хотя самый предмет проективной геометрии еще не получает у них четкого определения. После Дезарга и Паскаля более полутора столетия существенного продвижения в изучении проективных свойств не было, хотя уточнялись отдельные понятия. Так, в сочинениях по перспективе Б. Тейлора и И. Ламберта показано, что на плоскости все бесконечно удаленные точки схода лежат на одной бесконечно удаленной прямой, в труде Э. Варинга появляется аналитическая запись коллинеации на плоскости.

Новые успехи в этой области в начале XIX в. были теснейшим образом связаны с деятельностью Г. Монжа. Его начертательная геометрия возродила интерес к синтетическим методам и привлекла внимание к методу проектирования.

Как Л. Карно, так и Ш. Брианшон, Ж. Понселе, Ж. Жергонн и М. Шаль, внесшие важный вклад в развитие проективной геометрии, слушали лекции Г. Монжа, первый — в Мезьере, а остальные — в Париже, в Политехнической школе.

Лазар Карно (1753—1823), выдающийся деятель Французской буржуазной революции, прозванный «Организатором победы», военный и математик, опубликовал три геометрические работы: «О корреляции фигур в геометрии», «Геометрия положения» и «Очерк о трансверсалях, в которых введены некоторые существенные для становления проективной геометрии идеи и понятия. Используя понятие непрерывного преобразования фигуры («корреляции» по его терминологии), он высказал так называемый принцип непрерывности («принцип корреляции»), согласно которому определенные свойства преобразованной фигуры можно находить и изучать по свойствам исходной (даже если «корреляция» приводит к мнимым величинам). Существенно отметить, что он впервые ввел в рассмотрение двойное (ангармоническое) отношение четырех точек прямой с учетом его знака, уточнив тем самым трактовку Паппа, и затем доказал инвариантность этого отношения для четверок точек, полученных при сечениях четырех прямых пучка различными секущими. Им были установлены на зтом пути гармонические свойства полного четырехсторонника.

Карно всегда подчеркивал преимущества синтетического метода над аналитическим, тогда широко применявшимся, так как первый позволяет сразу охватить возможные частные случаи.

Шарль Жюльен Брианшон (1783—1864), капитан артиллерии, впоследствии профессор артиллерийской школы, нашел и доказал в мемуаре «О кривых поверхностях второго порядка» теорему об описанном вокруг конического сечения шестистороннике, двойственную теореме Паскаля. При этом он опирался на полярное соответствие относительно конического сечения, сделав тем самым первый шаг к установлению общего принципа двойственности, тогда еще неизвестного.

Теорию полярного соответствия разрабатывали затем в 1810 г. Ф. Ж. Сервуа (1767—1847) и в 1812 г. Жозеф Диаз Жергонй (1771—1859), профессор математики в Ниме и Монпелье, основатель журнала «Annales de mathematiques», обычно называемого «Анналами Жергонна»; Сервуа ввел термин «полюс», а Жергонн — «поляра».

Дифференциальная геометрия.

После Клеро и Эйлера центральное место в развитии дифференциальной геометрии в конце XVIII в. занимал Монж (см. рис.). Его труды, особенно его преподавательская деятельность в Военной академии в Мезьере (1768—1780) и в Политехнической школе (1795—1809) привлекли к нему большое число учеников и последователей, так что именно во Франции в эти годы и в первые десятилетия XIX в. особенно успешно развиваются геометрические исследования. Они проводятся как в области дифференциальной, так и в области проективной геометрии, начала которой были положены учеником Монжа Понселе.

Для дифференциально-геометрической школы Монжа характерной чертой является непосредственная геометричность мышления, как бы только подкрепляемая аналитическим аппаратом, т. е. координатным методом и результатами теории дифференциальных уравнений.

Из учеников Монжа по Мезьерской академии напомним имена Менье и Тенсо. Среди учеников Монжа по Политехнической школе, развивавших его дифференциально-геометрические идеи, необходимо выделить Малюса, Ланкре, Родрига и Дюпена. Об исследованиях Малюса мы будем говорить ниже, в связи с теорией прямолинейных конгруэнции, одним из основоположников которой он был.

М. Ланкре (1774—1807) ввел в «Мемуаре о кривых двоякой кривизны» как кривизну, так и кручение пространственной кривой, определив их как бесконечно малые углы поворота нормальной и соприкасающейся плоскостей и назвав их первым и вторым изгибанием (flexion). Впоследствии эти величины уже в конечной форме появляются у Коши в «Лекциях о приложениях исчисления бесконечно малых к геометрии» а затем их роль окончательно выясняется в деривационных формулах Френе и Серре.

Оленд Родриг (1794—1851), известный также как социалист-утопист, ученик А. К. Сен-Симона (1760—1825), в «Исследованиях по аналитической теории линий и радиусов кривизны поверхностей» получил ряд результатов и формул, связанных с линиями кривизны, в частности так называемые «формулы Род-рига». С помощью сферического отображения поверхности он, предваряя Гаусса, рассмотрел отношение соответствующих площадей и пришел к величине, названной впоследствии полной или гауссовой кривизной, и показал, что она равна произведению главных кривизн.

Яркий след в дифференциальной геометрии оставил Шарль Дюпен (1784—1873), публикация результатов которого надолго задерживалась, так как он был морским офицером и участвовал в длительных плаваниях. Его работы опубликованы в двух книгах: «Развитие геометрии» и «Приложения геометрии и механики». Еще в возрасте 16 лет он, рассматривая огибающую семейства шаров, касающихся трех данных шаров, пришел к понятию замечательной поверхности — циклиды (впоследствии названной его именем), оба семейства линий кривизны которой — окружности. Около 1807 г. он доказал прекрасную теорему, получившую его имя, о том, что поверхности триор-тогональной системы пересекаются по линиям кривизны. Это позволило трактовать линии кривизны эллипсоида, изучавшиеся Монжем, как пересечения эллипсоида с семействами софокусных с ним поверхностей второго порядка. Для изучения кривизн нормальных сечений поверхностей он ввел индикатрису, также носящую его имя, которая позволяет наглядно представить и проанализировать поведение кривизны нормального сечения поверхности при вращении секущей плоскости вокруг нормали. Отсюда вытекала классификация точек поверхности, не являющихся точками плоскостности, на три типа: эллиптический, гиперболический и параболический. Прояснился также геометрический смысл омбилических точек и асимптотических линий (последний термин введен Дюпеном). Он же впервые ввел понятие сопряженных линий (относительно асимптотической сети) и получил геометрическое доказательство теоремы Монжа, что поверхность, состоящая из омбилических точек, является сферой.

Открытие Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии.

Многовековые попытки доказательства V постулата Евклида привел» к появлению в начале XIX в. новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия носит в настоящее время имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением.

Николай Иванович Лобачевский (см. рис.) родился в Нижнем Новгороде в семье мелкого чиновника. Рано лишившись мужа, мать Лобачевского добилась принятия его в Казанскую гимназию. После ее окончания Лобачевский в 1807 г. поступил в открывшийся незадолго до этого Казанский университет, с которым был связан затем всю жизнь. Большое влияние на Лобачевского оказал приглашенный в Казань в 1808 г. друг Гаусса профессор М. Ф. Бартельс (1769—1836), впоследствии работавший в университете в Дерпте (ныне Тарту). Отлично учившийся молодой Лобачевский раздражал реакционное университетское начальство «мечтательным о себе самомнением, упорством, неповиновением», а также «возмутительными поступками», в которых автор одного из рапортов о нем усматривал «признаки безбожия» 10. Однако профессора, и в первую очередь Бартельс, заступились за строптивого студента, и в 1811 г. Лобачевский благополучно окончил университет, получив звание магистра. Став преподавателем университета, Лобачевский продолжал некоторое время работать под руководством Бартельса. В 1816 г. он назначается экстраординарным профессором, в 1822 г. избирается ординарным профессором, в 1820 г.— деканом физико-математического факультета, а в 1827 г.— ректором университета. На этом посту, который он занимал до 1845 г., Лобачевский проявляет себя как блестящий организатор. Он спас университет во время пожара и эпидемии холеры; под «го руководством было выстроено большинство университетских зданий и комплектовалась библиотека, носящая теперь его имя. Большое влияние оказал Лобачевский также на преподавание почти на всех факультетах. В 1845 г. Лобачевский прекратил работу в университете, но до конца жизни был одним из руководителей обширного Казанского учебного округа.

Одной из предпосылок геометрических открытий Лобачевского был его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В речи -«О важнейших предметах воспитания» (Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона: «Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно» — и далее указывает, что сами правила логических умозаключений являются отражениями реальных закономерностей мира: «Разум, это значит, известные начала суждения, в которых как бы отпечатались первые действующие причины Вселенной и которые соглашают, таким образом, все наши заключения с явлениями в природе». В своем сочинении «О началах геометрии», являющемся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить». Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом, из которой делался вывод о том, что единственной мыслимой геометрией является геометрия Евклида.

Первое геометрическое сочинение Лобачевского — «Геометрия», написанное в 1823 г., было напечатано только после его смерти. Это оригинальное учебное пособие отражает раздумья Лобачевского об основаниях геометрии. К этому же времени относится одна из попыток Лобачевского доказать V постулат.

К 1826 г. Лобачевский пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11 февраля 1826 г. сделал на заседании факультета доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее названную геометрией Лобачевского. Доклад 1826 г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии — статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829—1830 гг. Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках Казанского университета» соответственно в 1835, 1836 и 1835—1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в «J. fiir Math.» в Берлине, в Берлине же в 1840 г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию» (т. е. «Всеобщую геометрию»). Геометрия Лобачевского получила всеобщее признание математиков только после его смерти. Коллега Лобачевского по Казанскому университету. Петр Иванович Котельников (1809—1879) в своей актовой речи 1842 г. открыто заявил: «Не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд — построить целую науку, геометрию, на новом предположении: сумма углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых — труд, который рано или поздно найдет своих ценителей»1S. Высоко оценил «Геометрические исследова-лия» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Тёттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук Ганноверского королевства. Однако в печати с оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.

Интерпретации неевклидовой геометрии.

Интерпретация Бельтрами. Самым убедительным аргументом в пользу новой геометрии были появившиеся в это время интерпретации этой геометрии в евклидовом пространстве. Первые две такие интерпретации были предложены профессором математики и механики в Болонье и Риме Эудженио Бельтрами (1835— 1900) в «Опыте интерпретации неевклидовой геометрии», в котором он отправлялся от работ Миндинга. В этой работе Бельтрами вычислил линейный элемент (квадрат дифференциала дуги) плоскости Лобачевского в координатах u, v, равных расстояниям точки от двух взаимно перпендикулярных прямых, деленным на r (в настоящее время эти координаты называют «бельтрамиевыми»), и нашел, что в этой системе координат линейный элемент имеет вид ds2=r2(a2u)>2du2+2uvdudv+(a2v)>2dv2a2u>2v2. Вычисляя далее гауссову кривизну поверхности с таким линейным элементом, Бельтрами обнаружил, что гауссова кривизна плоскости Лобачевского во всех ее точках равна одному и тому же числу — 1/r2, т. е. что плоскость Лобачевского можно рассматривать как поверхность постоянной отрицательной кривизны.

Так как всякую поверхность с точки зрения ее внутренней геометрии можно рассматривать как интерпретацию любой поверхности, наложимой на нее, а необходимым и достаточным условием наложимости поверхностей является равенство гауссовых кривизн в соответственных точках поверхностей, Бельтрами сделал вывод, что плоскость Лобачевского может быть интерпретирована любой поверхностью постоянной отрицательной кривизны.

Бельтрами установил, что поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны, рассмотренные Миндингом, изометричны частям плоскости Лобачевского, заключенным между двумя пересекающимися прямыми и ортогональной к ним окружностью, между двумя расходящимися прямыми, их общим перпендикуляром и ортогональной к ним экви-дистантой и между двумя параллельными прямыми и ортогональным к ним орициклом. Впоследствии Гильберт доказал, что всякая поверхность постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве изометрична только части или нескольким частям плоскости Лобачевского, но ни одна такая поверхность не изометрична плоскости Лобачевского целиком.

С другой стороны, рассматривая точки евклидовой плоскости с координатами, численно равными «бельтрамиевым координатам» u, v плоскости Лобачевского, Бельтрами получает вторую интерпретацию. Так как коор-динаты u, v связаны условием u2+v2<a2, при этой интерпретации вся плоскость Лобачевского изображается внутренностью круга, ограниченного окружностью u2+v2=a2. Бельтрами показал, что прямые линии плоскости Лобачевского при этом изображаются ' хордами этого круга (см. рис.), а расстояние точки Р с координатами (u, v) до начала координат 0 равно =r2lna+u2+v2au2+v2.

Хотя Бельтрами не дал формулы для расстояния между двумя произвольными точками и не выяснил, как в его интерпретации изображаются движения плоскости Лобачевского, эта интерпретация Бельтрами явилась первым, правда неполным, доказательством непротиворечивости всей плоскости Лобачевского.

Интерпретация Кэли. Ответ на вопросы, не решенные Бельтрами, по существу заключался в вышедшем за десять лет до его работы и уже упоминавшемся «Шестом мемуаре о формах» Артура Кэли, где было введено понятие о проективной метрике на плоскости.

Кэли записывает уравнение коники на проективной плоскости с проективными координатами х, у, z, и ставит в соответствие каждым двум точкам Р а Р' с координатами х, у, z и х', у', z' этого абсолюта расстояние Dist (P, Р'). Из доказанного Кэли ранее вытекает, что для точек одной прямой Dist (Р, Р') + Dist (Р', Р") = Dist (Р, Р'').

Кэли замечает, что «общие формулы не получают существенного изменения, но зато сильно упрощаются по форме, если за точечное уравнение абсолюта взять x2 + y2 + z2 = 0.

Тогда мы имеем для расстояния между двумя точками (x, у, z) и (x', y', z') cos1xx'+yy'+zz'x2+y2+z2x'2+y'2+z'2. Он указывает, далее, что «если (х, y, z) — обычные прямоугольные координаты в пространстве, удовлетворяющие уравнению x2 + y2 + z2 = 1, тогда точка, имеющая координаты (x, y, z), будет точкой сферической поверхности, и (поскольку определенное Кэли расстояние является сферическим расстоянием) «мы имеем систему сферической геометрии; и здесь выявляется, что абсолютом в такой системе является (сферическая) коника, представляющая собой пересечение сферы с концентрическим конусом или исчезающей сферой». Под «сферической коникой» Кэли понимал тот мнимый круг, по которому бесконечно удаленная плоскость, дополняющая евклидово пространство до проективного, пересекается со всеми сферами евклидова пространства и с мнимым конусом x2 + y2 + z2 = 0, который Кэли называет «концентрическим конусом» и «исчезающей сферой». Тем самым метрика Кэли осуществляется на бесконечно удаленной плоскости, представляющей собой проективную плоскость, и на сфере обычного пространства с отождествленными диаметрально противоположными точками. В настоящее время проективная плоскость с определенной таким образом метрикой называется эллиптической плоскостью; по причинам, которые будут ясны ниже, эту плоскость называют также неевклидовой плоскостью Римана, хотя на самом деле с гораздо большим основанием эту плоскость следует называть плоскостью Кэли.

Кэли замечает также, что «в обычной геометрии плоскости абсолют вырождается в пару точек, а именно в пару точек пересечения бесконечно удаленной прямой с исчезающим кругом, или, что то же самое, абсолют является двумя круговыми точками в бесконечности. Общая теория соответствующим образом модифицируется, а именно, здесь для точек уже не существует расстояния, подобного квадранту, и расстояние между двумя прямыми не может быть никоим образом сравниваемо с расстоянием между точками»36. «Расстояние между прямыми» — это угол между прямыми евклидовой плоскости или расстояние между двумя параллельными прямыми. Говоря о вырождении коники в пару точек, Кзли имеет в виду конику как совокупность прямых, т. е. пучок второго порядка, который может выродиться в пару обычных действительных или мнимых пучков. Кзли не изучает случаев, когда коника вещественная или когда она распадается на пару действительных пучков, приводящих к геометриям, которые в настоящее время называются гиперболической (геометрией Лобачевского) и псевдоевклидовой. Однако ему было ясно большое значение определенных им проективных метрик, и в конце мемуара он писал: «Метрическая геометрия является, таким образом, частью проективной геометрии, и проективная геометрия представляет всю геометрию».

Интерпретация Клейна. Связь между проективными метриками Кэли и геометрией Лобачевского была установлена немецким геометром Феликсом Клейном (1849— 1925). Уроженец Дюссельдорфа, Клейн учился в Боннском университете, где был учеником Плюккера и в 1866—1868 гг. его ассистентом по кафедре-физики. Затем Клейн работал в качестве профессора в Эрлангенском университете (1872—1875), в Высшей технической школе в Мюнхене (1875— 1880), в Лейпцигском университете (1880—1886) и с 1888 г. в Гёттингенском' университете. В 1871 г. он установил упомянутую связь между геометрическими теориями Лобачевского и Кэли, о чем подробно говорится ниже. Выяснив, что группа движений пространства Лобачевского, а также группы движений евклидова пространства и других проективных метрик являются подгруппами группы проективных преобразований пространства, Клейн пришел к общей идее о роли групп преобразований в геометрии, высказанной им в лекции при вступлении в должность профессора Эрлан-генского университета («Эрлангенскай программе»). Клейн сыграл важную роль в усвоении математиками идей неевклидовой геометрии и теории групп, в создании теории непрерывных групп и изучении дискретных групп геометрических преобразований, в частности так называемых фук-совых групп (теорию которых он разрабатывал в бурном соревновании с Пуанкаре), а также групп симметрии правильных фигур (одна из его книг посвящена группе симметрии правильного икосаэдра). С 1876 г. в течение сорока лет Клейн был главным редактором издававшихся в Лейпциге «Mathematischen Annalen». Нельзя не упомянуть еще его активного-участия в известной многотомной «Enzyklopadie der mathematischen Wissen-schaften» и реформе преподавания математики в средней и высшей школе.

В своих «Лекциях о развитии математики в XIX столетии», читанных во время первой мировой войны и изданных Р. Курантом и О. Нейгебауэ-ром в 1926 г., Клейн описывает открытие своей интерпретации следующим образом: он познакомился с теорией Кэли по упоминавшейся нами книге Сальмона «Конические сечения», немецкий перевод которой появился к этому времени, а после этого, зимой 1869—1870 гг., впервые услышал о-геометрии Лобачевского от своего друга Штольца. «Из этих кратких сведений я довольно мало понял, но тотчас же у меня возникла идея, что тут существует некоторая зависимость. В феврале 1870 г. я читал доклад в семинаре Вейерштрасса о мероопределении Кэли и закончил его вопросом, не существует ли совпадения между идеями Кэли'и Лобачевского. Я получил ответ, что это — две далеко отстоящие по идее системы». Клейн пишет, что сначала позволил переубедить себя и вернулся к этим идеям только летом 1871 г. в спорах с тем же Штольцем. В результате Клейн в том же году опубликовал статью «О так называемой неевклидовой геометрии», где показал, что в случае, когда «абсолют» Кэли — действительная коника, часть проективной плоскости, находящаяся внутри этой коники, изометрична плоскости Лобачевского. Эта работа вызвала возражения с многих сторон и, в частности, обвинения в порочном круге, поскольку проективную геометрию обычно излагали на основе евклидовой. Однако к этому времени появилась теория Штаудта, с помощью которой проективной геометрии можно было дать обоснование, независимое от евклидовой. Этой проблеме Клейн посвятил вторую часть указанной статьи (1872). Клейн несколько видоизменяет определение Кэли и расстоянием между точками А и В называет с In W, где W — двойное отношение точек А и В и точек пересечения прямой АВ с абсолютом, а углом между прямыми а и b называет с' In W, где W — двойное отношение прямых а и b и касательных к абсолюту, проведенных из точки их пересечения. Клейн показывает, что в случае, когда обе постоянные с и с' равны i/2, получается эллиптическая плоскость, в случае же, когда с = 1/2, а с' = i/2 — плоскость Лобачевского, причем параллели Лобачевского — это прямые, пересекающиеся в точке коники. Движения эллиптической плоскости и плоскости Лобачевского при этом изображаются коллинеациями, переводящими в себя мнимую или действительную конику. Заменяя конику мнимой и овальной поверхностями второго порядка (квадриками), Клейн получает эллиптическое пространство и пространство Лобачевского. При этом интерпретация Бельтрами плоскости Лобачевского является частным случаем интерпретации Клейна, когда коника является окружностью на евклидовой плоскости, и тем самым решается вопрос о том, как изображаются движения плоскости Лобачевского в интерпретации Бельтрами. 'Случая вещественной постоянной с' — идеальной области плоскости Лобачевского и псевдоевклидовой плоскости — Клейн здесь не рассматривает.

Риманова геометрия.

Новый раздел многомерной геометрии был основан Б. Риманом (см. рис.) в его знаменитой речи «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной 10 июня 1854 г. в Гёттингенском университете в качестве пробной лекции. На лекции присутствовал Гаусс, к которому преимущественно она и была обращена. Риман начинает с того, что «образование понятия величины возможно лишь в том случае, если предпослано некоторое общее понятие, связанное с допущением ряда различных состояний. В зависимости от того, существует или не существует непрерывный переход от одного состояния к другому, мы имеем дело с непрерывным или прерывным многообразием; отдельные состояния называются в первом случае точками, во втором — элементами многообразия». Риман определяет размерность непрерывного многообразия следующим образом: «Предположим, что некоторому понятию сопоставлено непрерывное множество состояний, причем от одного состояния определенным образом можно переходить ко всякому другому; тогда все эти состояния образуют просто протяженное или однократно протяженное многообразие, отличительным признаком которого служит возможность непрерывного смещения на каждом данном этапе лишь в две стороны — вперед и назад». Переводя это множество состояний непрерывным образом в другое множество состояний, Риман определяет «дважды протяженное многообразие», из него аналогично получает «трижды протяженное многообразие», а повторяя эту операцию n раз,— «n-кратно протяженное многообразие». Это понятие по существу совпадает с «протяжением» Грассмана и «континуальностью» Шлефли, однако, если Грассман и Шлефли, определив многомерное пространство весьма общего вида, затем фактически ограничивались многомерным аффинным или евклидовым пространством, Риман определил метрику на «n-кратно протяженном многообразии», не сводящуюся к евклидовой и по существу являющуюся обобщением гауссовой внутренней геометрии поверхности. Именно, определив n-кратно протяженное многообразие, Риман поставил вопрос о «метрических отношениях, возможных на таких многообразиях», и о возможности «результаты вычислений выражать в геометрической форме». Указав, что «для того и другого прочное основание заложено в знаменитом сочинении о кривых поверхностях г. тайного советника Гаусса», Риман рассмотрел сначала весьма общие предположения, а затем ограничился случаем, когда дифференциал дуги ds, т. е. расстояние между точками с координатами xi и xi + dxi, является однородной алгебраической функцией от дифференциалов с коэффициентами, являющимися функциями только координат xi. Далее, переходя к простейшим возможным случаям, Риман находит, что таков случай ds2=ijgijdxidxj, где gij = gji — непрерывные и дважды дифференцируемые функции переменных xi, а квадратичная форма — положительно определенная. Риман указывает, что, «в частности, для пространства, если определить положение точки прямоугольными координатами, мы имеем ds = (dx)2»; под «пространством» Риман, как и Грассман, понимал трехмерное евклидово пространство. Общее выражение Римана для ds2 является обобщением первой квадратичной формы Гаусса для поверхности. Благодаря условию Римана определенное им n-мерное пространство можно рассматривать в малых участках как n-мерное евклидово пространство.

Интегрируя ds вдоль линий, Риман получал длины линий в определенном им пространстве. Среди различных линий, соединяющих две точки, особое место занимают кратчайшие (геодезические), определяемые дифференциальными уравнениями, аналогичными дифференциальным уравнениям геодезических линий на поверхностях. С помощью геодезических линий можно весьма наглядно определить важнейшее понятие геометрии пространств, рассматривавшихся Риманом,— кривизну пространства в точке в данном двумерном направлении. Для этого следует из данной точки провести две геодезические, касающиеся данного двумерного на правления, соединить две точки этих линий третьей геодезической и измерить сумму углов А + В + С и площадь полученного «геодезического треугольника» ABC. Кривизной пространства в данной точке в данном двумерном направлении называется предел отношения углового избытка геодезического треугольника А + В + С - его площади при стягивании треугольника в данную точку; угловой избыток и, следовательно, кривизна могут быть как положительными, так и отрицательными. Риман определяет кривизну в данном двумерном направлении, рассматривая бесконечно малые геодезические треугольники: в окрестности точки, в которой он хочет определить кривизну, Риман вводит координаты xi, равные в этой точке 0 и связанные с расстоянием s точек этой окрестности от данной точки соотношением s = xi2 (в настоящее время их называют римановыми координатами). В этих координатах линейный элемент вблизи данной точки принимает вид ds2=idxi2+ijkcij,kxkdxidxj+ijklcij,klxkxldxidxj+... где cij,k и cij,kl — значения частных производных gij/xk и 2gij/xkxi в данной точке. Риман замечает, что в силу того, что его координатные линии геодезические, все cij,k = 0, а члены второго порядка в разложении ds2 образуют квадратичную форму от выражений xidxj — xjdxi. Если для единообразия обозначать бесконечно малые величины xi через xi, то эти выражения можно записать в виде xij = xidxj — xjdxi и рассматривать как координаты параллелограмма, построенного на векторах {dxi} и {хi}. Поэтому члены второго порядка в разложении ds2 можно записать в виде 2=ijklRij,klxijxkl.

Далее Риман рассматривает, как он выражается, частное от деления 2 на площадь треугольника с вершинами (0, 0, . . ., 0), (x1, xi, ..., хn) и (dx1, dx2,...., dxn) — треугольника, построенного на тех же векторах {dxi} и {хi}, т. е., как сказали бы мы, предел указанного частного при стягивании этого треугольника в точку. Эту величину Риман и называет мерой кривизны; она отличается от определенной нами выше кривизны пространства в данной точке в данном двумерном направлении (совпадающей в случае поверхности с гауссовой мерой кривизны) только коэффициентом.

Искривленные многомерные пространства, определенные Риманом в речи 1854 г., в настоящее время называют римановыми пространствами, а их геометрию — римановой геометрией.

Величины Rij,kl образуют так называемый тензор кривизны, или тензор Римана. Как координаты всякого тензора, они обладают тем свойством, что при преобразовании координат xi их выражения в новых координатах являются линейными комбинациями их выражений в старых координатах, откуда вытекает, что если они равны 0 в некоторой системе координат, то они равны нулю в любой системе координат.

Риману удалось применить идеи предложенной им геометрии для решения практической задачи. Этому применению посвящено написанное в 1861 г. его «Математическое сочинение, в котором содержится попытка дать ответ на вопрос, предложенный знаменитейшей Парижской академией: „Определить, каково должно быть тепловое состояние однородного твердого тела, чтобы система изотермических кривых, заданная в определенный момент времени, оставалась системой изотермических кривых в любой момент времени таким образом, чтобы температура точки выражалась в виде функции времени и еще двух независимых переменных».

Работа Римана, присланная на конкурс не вполне законченной и написанная крайне сжато, не была понята жюри конкурса и премии не получила. Рукопись была впервые опубликована в первом собрании сочинений Римана. Риман приводит здесь дифференциальное уравнение теплопроводности isi(ibijusi)=hut к наиболее простому виду, эта задача равносильна преобразованию квадратичной формы bijdsidsj к сумме квадратов. Необходимое и достаточное условие для возможности такого преобразования состоит в равенстве нулю выражения K=12ijkl(ij,kl)(dsisjdsjsi)(dsksldslsk)(ijbijdsidsj)(ijbijsisj)(ijbijdsisj), не изменяющегося при замене переменных. По поводу этого выражения, обозначаемого им (III), Риман пишет: «Выражение bijdsidsj можно рассматривать как линейный элемент в общем n-кратно протяженном пространстве, лежащем за пределами нашей интуиции. Если в этом пространстве из точки (s1, s2,..., sn) провести всевозможные кратчайшие линии, начальные направления которых'характеризуются отношениями ds1+s1:ds2+s2:...:dsn+sn (причем и — произвольные величины), то эти линии образуют некоторую поверхность, которую можно представить себе расположенной в обычном пространстве нашей интуиции. В таком случае выражение (III) будет являться мерой кривизны упомянутой поверхности в точке (s1, s2,..., sn)».

Величины (ij, kl) — так называемые четырехзначковые символы Римана — те же, которые мы выше обозначали через Rij, kl, выражаются через коэффициенты gij основной квадратичной формы Римана и их производных. В настоящее время они записываются в виде Rij,kl=h(jkhxiikhxj+rirhjkrrjrhikr)ghl, где величины Гijk определяются соотношениями lgiljkl=12(gikxj+gijxkgjkxi) (Риман обозначал величины Гijk через p ijk); с помощью величин Гijk уравнение геодезических линий риманова пространства записывается в виде d2xidt2+jkjkidxjdtdxkdt=0. Это уравнение определяет параметр t геодезических линий с точностью до преобразования t at + b.

Риман специально рассмотрел искривленные многомерные пространства ненулевой постоянной кривизны, обладающие той же степенью подвижности, что и евклидово пространство. Когда мера кривизны равна а, выражение для ds может быть приведено к виду (1+4x2)1dx2.

При n = 2 получается данное Миндингом выражение линейного элемента поверхности постоянной кривизны через гауссову кривизну этой поверхности.

Примером n-мерного риманова пространства постоянной положительной кривизны является сфера в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве, примером n-мерного риманова пространства постоянной отрицательной кривизны является n-мерное пространство Лобачевского, определенное впервые Э. Бельтрами в «Основной теории пространств постоянной кривизны».

Источник: Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича – М.: Наука, 1981. – 270 с.