Суббота, 12.07.2025, 12:34 | Приветствую Вас Гость

Мой сайт

Главная » » Лекция уравнение плоскости

13:30

Лекция уравнение плоскости

Уравнение плоскости
Аналитическая геометрия
Лекция 9. Уравнение плоскости
Сбродова Елена Александровна
09 ноября 2011 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 9

Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Определение.
Направляющим вектором плоскости называется любой
ненулевой вектор, параллельный этой плоскости.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Замечание.
Пара неколлинеарных векторов и точка однозначно задает
плоскость в пространстве.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости
Теорема.
Пусть плоскость проходит через точку M0 = (x0, y0, z0) и
имеет два неколлинеарных направляющих вектора
e = {ex, ey, ez} и f = {fx, fy, fz}. Тогда задается
уравнением

x = x0 + u · ex + v · fx,

y = y0 + u · ey + v · fy,

z = z0 + u · ez + v · fz.
Данное уравнение называется параметрическим.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости
Доказательство.
Пусть M (x, y, z) — произвольная точка. Точка M
принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда

векторы M0M , e и f компланарны.
Так как e
f , то по свойству линейно зависимой системы
векторов существуют такие числа u и v, что

M0M = u · e + v · f .
Перейдя к координатному равенству получим:

x = x0 + u · ex + v · fx,

y = y0 + u · ey + v · fy,

z = z0 + u · ez + v · fz.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Теорема.
Уравнение Ax + By + Cz + D = 0, где A2 + B2 + C2 = 0,
задает плоскость в пространстве. Любая плоскость может
быть задана таким уравнением.
Данное уравнение называется общим.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Любая плоскость может быть задана уравнением
Ax + By + Cz + D = 0.
Пусть плоскость проходит через точку M0 = (x0, y0, z0) и
имеет два неколлинеарных направляющих вектора
e = {ex, ey, ez} и f = {fx, fy, fz}.
Произвольная точка M (x, y, z) принадлежит плоскости

тогда и только тогда, когда векторы M0M , e и f
компланарны. По критерию компланарности,

= 0.
По теореме о записи смешанного произведения через
координаты
x x0 y y0 z z0
ex
ey
ez
= 0.
fx
fy
fz
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Разложим определитель по первой строке.
e
e
e
(xx
y
ez
x
ez
x
ey
0)
+(yy
+(zz
= 0.
f
0)(1)
0)
y
fz
fx fz
fx fy
Обозначим:
e
e
e
A =
y
ez , B = (1) x ez , C =
x
ey .
fy fz
fx fz
fx fy
Получим уравнение
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0.
Заметим, что A, B, C одновременно в ноль не обращаются,
так как иначе по критерию коллинеарности e f .
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Разложим определитель по первой строке.
e
e
e
(xx
y
ez
x
ez
x
ey
0)
+(yy
+(zz
= 0.
f
0)(1)
0)
y
fz
fx fz
fx fy
Обозначим:
e
e
e
A =
y
ez , B = (1) x ez , C =
x
ey .
fy fz
fx fz
fx fy
Получим уравнение
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0.
Заметим, что A, B, C одновременно в ноль не обращаются,
так как иначе по критерию коллинеарности e f .
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Раскроем скобки и приведем подобные.
Ax + By + Cz + (Ax0 By0 Cz0) = 0.
Обозначив через D = Ax0 By0 Cz0, получим требуемое.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 задает плоскость.
Предположим, что A = 0.
Пусть (x0, y0, z0) — какое-либо решение данного уравнения.
Тогда Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Вычтем его из исходного
уравнения, получим эквивалентное уравнение
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0.
Рассмотрим два вектора e = {C, 0, A} и f = {B, A, 0}.
Заметим, что e
f — два ненулевых вектора.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 задает плоскость.
Предположим, что A = 0.
Пусть (x0, y0, z0) — какое-либо решение данного уравнения.
Тогда Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Вычтем его из исходного
уравнения, получим эквивалентное уравнение
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0.
Рассмотрим два вектора e = {C, 0, A} и f = {B, A, 0}.
Заметим, что e
f — два ненулевых вектора.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Тогда любое решение (x, y, z) исходного уравнения
определяет точку M , лежащую в плоскости, проходящей
через M0, с направляющими векторами e и f .
Действительно,
x x0 y y0 z z0
C
0
A
=
B
A
0
= A2(x x0) AB(y y0) CA(z z0) = A · 0 = 0,

следовательно, векторы M0M , e и f компланарны.
Аналитическая геометрия. Лекция 9

Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Определение.
Вектором нормали плоскости называется любой ненулевой
вектор, ортогональный этой плоскости.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Следствие (геометрический смысл коэффициентов в
общем уравнении).
Пусть плоскость задана общим уравнением
Ax + By + Cz + D = 0. Тогда вектор n = {A, B, C}
ортогонален плоскости .
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Пусть M1 = (x1, y1, z1) и M2 = (x2, y2, z2) — две
произвольные точки плоскости . Тогда имеют место
равенства Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 и
Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0. Вычтем из одного уравнения
другое, получим
A(x1 x2) + B(y1 y2) + C(z1 z2) = 0.
По критерию ортогональности векторы n = {A, B, C} и

M2M1 = {x1 x2, y1 y2, z1 z2} ортогональны.
Т.о. вектор n ортогоналем любому вектору, лежащему в
плоскости , следовательно, n .
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Пример 1.
Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки
M1 = (1, 2, 3), M2 = (1, 2, 0) и M3 = (2, 4, 6).
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Пример 2.
Написать уравнение координатных плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Пример 3.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M = (1, 1, 2) перпендикулярно вектору n = (2, 3, 2).
Аналитическая геометрия. Лекция 9

Document Outline

1
2
3
4
5

Просмотров: 719 | Добавил: lmoned | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Меню сайта

Мини-чат

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Форма входа

Поиск

Календарь

Друзья сайта

Официальный блог

Сообщество uCoz

FAQ по системе

Инструкции для uCoz