C6 Критерии:
4 б. - Обоснованно получен правильный ответ
3 б. - Ответ правилен, по недостаточно обоснован (например, не доказано, что либо сумма отлична от 0, либо что она может быть равна 1)
2 б. - Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что сумма всегда отлична от 0
1 б. - Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что сумма всегда отлична от 0
0 б. - Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

(вар. 223 Восток)
Каждое из чисел 11, 12, ... ,19 умножают на каждое из чисел 3, 4, ... , 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 4455.
Решение:
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
`(3+ ... + 8)(11+ ... + 19) = ((3+8)/2*6)*((11+19)/2*9)= 33*135 = 4455`
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: `(3-4-5+6-7+8)(-11-12-13+14-15-16+17+18+19) = 1*1=1`.

(вар. 248 Восток)
Каждое из чисел 9, 10, ... ,17 умножают на каждое из чисел 1, 2, ... , 6 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 2457.
Решение:
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
`(9+ ... + 17)(1+ ... + 6) = ((9+17)/2*9)*((1+6)/2*6)= 117*21 = 2457`
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: `(1-2-3+4-5+6)(-9-10-11+12-13+14-15+16+17) = 1*1=1`.

(вар. 208 Восток)
Каждое из чисел 9, 10, ... ,17 умножают на каждое из чисел 3, 4, ... , 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 3861.
Решение:
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна
`(9+ ... + 17)(3+ ... + 8)=((9+17)/2*9)*((3+8)/2*6)= 117*33 = 2457`
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: `(3-4-5+6-7+8)(-9-10-11+12-13+14-15+16+17) = 1*1=1`.

(вар. 148 Запад)
Перед каждым из чисел 10, 11, ..., 20 и 2, 3, ..., 6 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 1045.
Решение:
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго - с минусами, то сумма максимальна и равна
`5(10 +... + 20)-11(-2 -... - 6) = 5((10+20)/2*11)+11((2+6)/2*5) = 55 * 19 = 1045`.
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней - нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
`5(10+11-12-13+14+15-16-17+18+19-20)-11(2-3+4-5+6) = 5*9-11*4 = 45-44 = 1`.

(вар. 112 Запад)
Перед каждым из чисел 11, 12, ..., 19 и 3, 4, ..., 9 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 63 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 1323.
Решение:
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго - с минусами, то сумма максимальна и равна
`7(11 +... + 19)-9(-3 -... - 9) = 7((11+19)/2*9)+9((3+9)/2*7) = 63 * 21 = 1323`.
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней - нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
`7(-11-12-13+14+15-16+17-18+19)-9(-3+4-5-6+7+8-9) = -7*5+9*4 = -35+36 = 1`.

(вар. 190 Запад)
Перед каждым из чисел 11, 12, ..., 19 и 6, 7, ..., 10 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 1035.
Решение:
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго - с минусами, то сумма максимальна и равна
`5(11 +... + 19)-9(-6 -... - 10) = 5((11+19)/2*9)+9((6+10)/2*5) = 45 * 23 = 1035`.
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней - нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
`5(-11-12+13-14+15-16+17-18+19)-9(-6-7+8-9+10) = -5*7+9*4 = -35+36 = 1`.