Как техническое приложение теоремы об изменении момента количества движения относительно неподвижного центра и оси при решении инженерных задач рассмотрим математический и физический маятники.

Изобразим такой маятник на рисунке отклоненным от положения равновесия на некоторый угол j и запишем для него диф. уравнение вращательного движения относительно оси Oz, проходящей через опору О перпендикулярно плоскости чертежа. Длину нити примем равной L.

Вспомним, что круговая частота и период колебаний не зависят от начальных условий движения. В данном случае период колебаний зависит только от длины нити маятника и величины ускорения свободного падения в том месте земной поверхности, где определяется рассматриваемая величина.

Зная формулу для определения периода колебаний математического маятника, можно достаточно точно определять ускорение свободного падения в любой точке земной поверхности. На определении аномалий этой величины основана гравитационная разведка полезных ископаемых.

Маятник Фуко в Парижской ратуше также можно рассматривать как математический. При значительной длине нити ( 67 м ) период его колебаний составляет примерно 16 секунд. По закону сохранения кинетического момента относительно вертикальной оси плоскость качаний маятника сохраняет свое положение в пространстве, тогда как площадка под маятником поворачивается вместе с Землей. По отношению к стоящим на Земле наблюдателям поворачивается плоскость качаний маятника. И этот поворот через два - три десятка колебаний можно отметить визуально. Опыт Фуко демонстрируется для туристов и любознательных с 1857 г.

Рассмотрим малые колебания одного из таких тел ( см. рисунок) относительно горизонтальной оси, проходящей через т. О.

Пусть центр тяжести тела - т. С находится в плоскости рисунка. Отклонение линии ОС от вертикали определим углом j, отсчитываемым против часовой стрелки.

Запишем диф. уравнение вращательного движения тела.

Как опытным путем определить положение центра тяжести тела сложной формы относительно оси (расстояние ОС ), рассматривалось в разделе “Статика”. По измеренному периоду колебаний этого тела можно определить его момент инерции относительно оси Oz, проходящей через точку О, и относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс тела.

На расстоянии, равном Lпр. от оси вращения физического маятника, на линии ОС (см. рисунок) существует интересная точка ( D ), которую называют центром качаний.

Эта точка всегда ниже точки С и интересна следующим. Если тело заставить колебаться относительно оси, проходящей через центр качаний, то период колебаний этого тела будет точно таким же, как и при колебаниях относительно оси, проходящей через точку О. Это можно доказать.

Для определения моментов инерции тел вращения большой длины и сложной формы относительно их оси вращения используется и иная конструкция физического маятника.

Тело (см. рисунок) крепится к оси вращения с помощью двух подвесок так, чтобы его ось Сx была горизонтальна и параллельна оси вращения. По периоду колебаний определяется момент инерции тела относительно оси вращения.

С помощью теоремы о моментах инерции тела относительно параллельных осей затем определяется момент инерции тела относительно центральной оси – оси, проходящей через центр тяжести тела.