С5 (вар.1). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств `{(|x+2y+1| le 11),((x-a)^2+(y-2a)^2=2+a):}` имеет единственное решение.
Ответ: a=3 и a=-2
Указание. Очевидно, что a-2 (ограничение на параметр). Геометрическая интерпретация первого неравенства – полоса, заключенная между прямыми x+2y-10=0 и x+2y+12=0. Геометрическая интерпретация второго уравнения системы – окружность с центром в точке (a;2a) радиуса `sqrt(2+a)`. Для того, чтобы система имела единственное решение ( при `a > -2`) необходимо и достаточно, чтобы окружность располагалась вне указанной полосы, касаясь при этом ее границы. Как известно, расстояние от точки `M(x_M;y_M )` до прямой `ax+by+c=0` равно `rho(M,l)=|ax_M+by_M+c|/sqrt(a^2+b^2 )`. Из условия касания имеем совокупность: `[(|a+4a-10|/sqrt(5)=sqrt(2+a)),(|a+4a+12|/sqrt5=sqrt(2+a)):}` (указанная совокупность не проверяет положение окружности относительно полосы) или `[(|5a-10|=sqrt(10+5a)),(|5a+12|=sqrt(10+5a)):}`. Из первого уравнения получаем `a in{1.2; 3}`, второе уравнение решений не имеет. Легко проверить, что точка с координатами (1.2;2.4) (центр окружности) лежит внутри указанной полосы, а точка с координатами (3;6) вне полосы.
Кроме того, если окружность вырождается в точку, и точка принадлежит полосе, то это также будет решением ( `a=-2`).
C5 (вар.2) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств `{(|3x-y+2| le 12),((x-3a)^2+(y+a)^2=3a+4):}` имеет единственное решение.
Ответ: a=2 и `a=-4/3`. Решение аналогично