2.1.5. Плоскость в пространстве.

2.1.5.1. Определение плоскости. Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Пусть в пространстве задан ненулевой вектор N(A, B, C) и точка М0(x0, y0, z0). Плоскость задается как геометрическое место точек М (x, y, z) пространства таких, что вектор М0М ортогонален вектору N. Таким образом, получаем векторное уравнение плоскости

.

(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю). Вектор N называется нормальным вектором плоскости.

В координатном виде векторное уравнение имеет вид

А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0

(уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и имеющей нормальный вектор N(A, B, C)). Преобразуем это уравнение: Ах + Ву + Сz + (–Ах0 –Ву0 –Сz0) = 0, или Ах + Ву + Сz + D = 0, где D = (–Ах0 – Ву0 – Сz0).

Уравнение

Ах + Ву + Сz + D = 0

называется общим уравнением плоскости. Координаты х, у, z входят в это уравнение в первой степени, поэтому плоскость называют поверхностью первого порядка.

Связкой плоскостей называют совокупность плоскостей, проходящих через одну точку. Очевидно, уравнение А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0 при произвольных (не равных нулю одновременно) коэффициентах А, В, С есть уравнение связки плоскостей, проходящих через точку М0(x0, y0, z0).

2.1.5.2. Угол между плоскостями. Даны две плоскости П1: А1х + В1у + С1z + D1 = 0 с нормальным вектором N1(A1, B1, C1) и П2: А2х + В2у + С2z + D2 = 0 с нормальным вектором N2(A2, B2, C2). Очевидно, косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормальными векторами, поэтому . Если требуется определить острый угол между плоскостями, то .

2.1.5.3. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы, т.е.условие параллельности прямых имеет вид . Если выполняются равенства , то уравнения А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0 определяют одну и ту же плоскость.