2.1.5.1. Определение плоскости. Векторное уравнение
плоскости. Общее уравнение плоскости. Пусть в пространстве задан ненулевой
вектор N(A,
B, C) и точка М0(x0, y0,
z0). Плоскость задается как
геометрическое место точекМ (x, y, z) пространства
таких, что вектор М0М ортогонален векторуN. Таким образом, получаем векторное уравнение
плоскости
.
(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю). Вектор
N называется нормальным вектором
плоскости.
В координатном виде векторное уравнение имеет
вид
А(х – х0) + В(у
– у0) + С(z – z0) = 0
(уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0,
z0) и имеющей нормальный вектор N(A, B, C)). Преобразуем это
уравнение: Ах + Ву + Сz +
(–Ах0 –Ву0 –Сz0)
= 0, или Ах + Ву + Сz + D = 0, где D = (–Ах0
– Ву0 – Сz0).
Уравнение
Ах + Ву + Сz + D = 0
называется общим уравнением плоскости. Координаты х,
у, z входят в это уравнение в первой
степени, поэтому плоскость называют поверхностью первого порядка.
Связкой плоскостей
называют совокупность плоскостей, проходящих через одну точку. Очевидно, уравнение
А(х – х0) + В(у – у0)
+ С(z – z0)
= 0 при произвольных (не равных нулю одновременно) коэффициентах А, В,
С есть уравнение связки плоскостей, проходящих через точку М0(x0, y0,
z0).
2.1.5.2. Угол между
плоскостями. Даны две плоскости П1: А1х
+ В1у + С1z
+ D1 = 0 с нормальным вектором N1(A1,
B1, C1)
и П2: А2х + В2у + С2z + D2 = 0 с
нормальным вектором N2(A2, B2,
C2). Очевидно, косинус угла между
плоскостями равен косинусу угла между нормальными векторами, поэтому . Если требуется определить острый
угол между плоскостями, то .
2.1.5.3. Условия параллельности
и перпендикулярности плоскостей. Плоскости параллельны тогда и только
тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы, т.е.условие параллельности
прямых имеет вид . Если выполняются
равенства , то уравнения А1х
+ В1у + С1z
+ D1 = 0 и А2х
+ В2у + С2z
+ D2 = 0 определяют одну и ту же
плоскость.