Обратимся сначала к системе двух связанных элементов, совершающих автоколебания при компенсации потерь из общего источника энергии, так что уравнения для комплексных амплитуд a и b имеют вид

и считаем, что прямоугольные координаты точки на сфере выражаются через угловые переменные обычным соотношением

Рассмотрим такое же отображение сферы в себя, как и раньше, но представим его теперь в шесть стадий для удобства построения. Стадии 1 и 2 такие же, как и раньше. Стадии 4 и 5 такие же, как 1 и 2, но с противоположным направлением вращения. Дополнительные стадии 3 и 6 отвечают просто повороту сферы вокруг оси y на 90о. Проводимые преобразования иллюстрируются рисунком, где приводятся также уравнения, которым должны удовлетворять комплексные амплитуды a и b на каждой стадии. Ответственные за автоколебания члены считаем включенными только на стадиях поворота, что упрощает вывод отображения Пуанкаре.

Вводя коэффициенты s и s, зависящие от времени кусочно-непрерывным образом и принимающие значения -1, 0, 1, можно представить в компактном виде уравнение, охватывающее все стадии, следующим образом:

Отображение Пуанкаре, задающее трансформацию состояния за период T=6, можно получить в явной форме. Пусть начальные условия для комплексных амплитуд в момент t=nT отвечают вектору состояния Xn=(an, bn). Отображение Пуанкаре представим как композицию отображений за полпериода:

На рисунке показан в представлении на сфере аттрактор этого отображения при e=1 и m=1. Он не отличается от рассмотренного выше, в первом разделе настоящей страницы. А вот эволюция структуры в непрерывном времени другая, поскольку последовательность преобразований в пределах периода сформулирована иначе.

Далее приводятся некоторые численные результата, относящиеся к рассматриваемой системе связанных осцилляторов. Представлены зависимости амплитуд двух осцилляторов от времени в переходном процессе, который завершается установлением хаотического режима.

Показаны также спектр колебаний одного из осцилляторов в установившемся режиме и фазовый портрет, где в горизонтальной плоскости отложены угловые координаты на сфере, а по вертикальной оси - время в пределах одного периода изменения коэффициентов в уравнениях. Картинка вызывает ассоцииации с поднимающимся и клубящимся дымом.

Строго говоря, в системе уравнений для комплексных амплитуд аттрактор не может интерпретироваться как однородно гиперболический из-за наличия нейтрального направления в пространстве состояний, отвечающего общей фазе. Он должен быть отнесен к классу частично гиперболических аттракторов. Для модели, исследуемой здесь, данное замечание носит формальный характер, поскольку инвариантность по отношению к сдвигу фазы точная, а с точки зрения остальных переменных (амплиитуд и относительной фазы) динамика такая же, как в случае настоящего гиперболического аттрактора. Однако в системах, для которых представление посредством медленных комплексных амплитуд будет приближенным способом описания, следует ожидать появления специфики, определяемой природой частично гиперболического аттрактора. По-видимому, если поправки, обусловленные отклонением от приближенного описания невелики, то общая фаза будет совершать медленное случайное блуждание, тогда как динамика остальных переменных сохранит свой характер.

Поскольку системы связанных осцилляторов встречаются во многих областях физики и техники, естественно думать, что предложенная модель может допускать реализацию на их основе. Сказанное относится, в частности, к электронным устройствам, механическим системам, объектам лазерной физики и нелинейной оптики. Системы с гиперболическим хаосом могут оказаться интересными для приложений в особенности благодаря присущему им свойству грубости или структурной устойчивости, что будет означать нечувствительность устройств к вариации параметров, характеристик составных элементов, техническим флуктуациям и шумам и т.п.