Плоскость

Дата создания: 2010-03-22 13:58:52
Последний раз редактировалось: 2012-02-08 09:11:37

Предварительные уроки:
1. Векторы. Перейти.
2. Уравнение прямой. Перейти.

Замечание
Перед чтением этого урока, повторите урок по векторам. Особое внимание уделите разности (вычитанию) векторов и скалярному произведению. По скалярному произведению хочу напомнить вот такой момент (об этом говорилось в уроке по векторам, но повторю и здесь): скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю.

Плоскость - это абсолютно ровная бесконечная поверхность. Посмотрим на картинку:

На картинке изображена плоскость. Вектор n перпендикулярен плоскости и называется: нормальным вектором, направляющим вектором или нормалью. Мы будем использовать слово нормаль, так как это самый короткий вариант.

Будем считать, что нормаль - единичный вектор. Это условие необязательное, но оно упростит вычисления. В случаях, когда длина нормали будет больше единицы, мы просто нормируем этот вектор и получим единичный.

Уравнение плоскости

На картинке выше в плоскости находятся две точки с координатами (x,y,z) и (x0,y0,z0). Как мы знаем, любые точки в пространстве можно представить радиус-векторами, поэтому мы представляем две точки плоскости векторами r и p.

Вектор (здесь слово вектор можно заменить на отрезок) r-p лежит в плоскости и перпендикулярен вектору n. Поэтому можно записать следующее уравнение:

>

 n·(r-p) = 0 / скалярное произведение двух перпендикулярных векторов: n и r-p
Это уравнение плоскости в векторном виде. Запишем это уравнение в координатном виде. n = (A,B,C), r = (x,y,z), p = (x0,y0,z0). В предыдущем уравнении необходимо заменить векторы на их координаты (смотрите уравнение скалярного произведения в уроке по векторам):
>
 A*(x - x0sub>) + B*(y - z0) + C*(z - z0) = 0
Уравнение первой степени относительно трёх неизвестных или общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости в векторном виде можно записать ещё и вот в таком варианте:
>
 n·(r-p) = 0 (n·r) - (n·p) = 0pre>
Заменим n·p на -D. D = -n·p. Последнее уравнение примет вид:
>
 (n·r) - (n· p) = 0 n·r + D = 0 A*x + B*x + C*x + D = 0pre>
Это всё тоже уравнение плоскости. Только теперь мы видим, что это ещё и уравнение первой степени относительно трёх неизвестных. Выражение "уравнение первой степени" означает, что в уравнении все неизвестные (x,y,z) в первой степени. Если хотя бы у одной неизвестной степень больше единицы, то это уже уравнение не первой степени.
Запомните, любое уравнение первой степени от трёх неизвестных (последнее уравнение) описывает плоскость. Нужно добавить: "любое невырожденное" - но пока запомните хотя бы так.
Применение уравнения плоскости
Давайте в уравнении плоскости выделим две части и рассмотрим их отдельно. Сначала разберём n·r:
>
 n·r = A*x + B*x + C*x = 0pre>
Это уравнение задаёт плоскость, проходящую через начало координат, с нормалью n.
Пример
 Пусть n = (0,707 0,707 0) тогда уравнение n·r, где r - произвольная точка, задаст вот такую плоскость (на картинке показан вид сбоку, поэтому плоскость выглядит как линия):
На картинке между n и r должна стоять точка - это скалярное произведение.
Подставляя в уравнение n·r=0 разные значения r, можно определить, принадлежит ли этот вектор плоскости или нет. Давайте попробуем:
>
 r = (1, -1, 5) n · r = 0,707*1 + 0,707 * (-1) + 0 * 5 = 0 / в данном случае точка (или можно сказать вектор) r находится в плоскости
r = (1, 1, 0) n · r = 0,707*1 + 0,707 * (1) + 0*0 = 1,414 // точка не принадлежит плоскости
Теперь вторая часть уравнения плоскости:
>
 -n·p = D = -(A*x0sub> + B*y0 + C*z0)
Где p - произвольная точка плоскости. Посмотрим, как на картинке будет представлено всё уравнение (вектор n всё тот же):
На этом рисунке видно, что такое -n·p (или D) - это расстояние от плоскости заданной уравнением n·(r-p) = 0 до параллельной ей плоскости, проходящей через начало координат.
Можно даже сказать, что D - это расстояние от начала координат до плоскости.
Взгляните ещё раз на последнюю картинку. Какая вообще может быть связь между p, n и D (расстоянием до плоскости)? Но тут моя вина. Мы не до конца рассмотрели свойства скалярного произведения в уроке по векторам. Когда писался тот урок, это было не нужно, а потом у меня не было времени. Пока что просто запомните, что скалярное произведение произвольной точки плоскости и нормали этой плоскости равно расстоянию от начала координат до плоскости. Позже мы ещё вернёмся к скалярному произведению и узнаем, как так получается.
Давайте поработаем над уравнением плоскости в векторной форме:
>
 n·(r-p) = 0 n·r - n·p = 0 n·r + D = 0b>
Как интересно! Помните как мы задавали прямую в двухмерном пространстве: углом и переменной b? Так вот, в последнем уравнении плоскость задаётся очень похоже: направляющим вектором и расстоянием от начала координат до плоскости.
Именно последнее уравнение мы будем использовать на практике. Рассмотрим три примера (D = -2,121):
Пусть векторы будут заданы так: u = (2,1,5), v = (-1,-1,0), q = (5,4,0). Подставляем эти векторы в уравнение:
>
 n·u + D = 0,707*2 + 0,707*1 + 0*5 - 2,121 = 0 / u принадлежит плоскости n·v + D = -1*0,707 - 1*0,707 + 0*0 - 2,121 = -3,535 // v не принадлежит плоскости n·q + D = 5*0,707 + 4*0,707 + 0*0 - 2,121 = 4,242 // q не принадлежит плоскости
Стороны плоскости: передняя/задняя
Нормаль n задаёт направление плоскости. Сторону плоскости, которая совпадает с направлением нормали, будем называть передней. Сторону плоскости, противоположной направлению нормали, будем называть задней.
Для любой точки, не лежащей в плоскости, можно сказать, с какой стороны она находится. Если, подставив эту точку в уравнение, результат - положительный, то точка находится спереди (с передней стороны) плоскости, если результат - отрицательное число, то точка находится с задней стороны.
В последнем примере D - отрицательное число. Определить знак D очень легко - он зависит n. Если начало координат расположено за плоскостью (с задней стороны), D - со знаком минус, если начало координат расположено перед плоскостью (с передней стороны), D - со знаком плюс.
На сегодня всё.
>
Понятны ли преобразования в уравнениях урока? Например, вот такое:
>
 n·(r-p) = 0 (n·r) - (n·p) = 0pre>
Если нет, напишите мне на e-mail. Подумаю, что можно сделать.