Математика эпохи Возрождения (XV - XVI вв.)

Век XV и XVI, вошли в историю Европы под названием «эпохи Возрождения», при этом имеется в виду возрождение того высокого уровня культуры, который был достигнут в античном мире. На самом же деле эта эпоха характеризуется гораздо более глубокими преобразованиями в жизни всего общества: именно в это время еще в недрах феодального строя возникает новый общественный строй — буржуазное общество.

В промышленности появляются мануфактуры, требующие технических усовершенствований и изобретений. Тогда же появляются в Европе компас, часы и порох, дешевая бумага и книгопечатание. Гигантски возрастает торговля, приведшая к исключительному росту мореплавания и к великим географическим открытиям. Бумага и книгопечатание делают научные знания необходимым элементом общественной жизни. Совершается подлинная культурная революция.

В XV—XVI вв. математика развивается главным образом в Италии, Франции и Германии, к которым в конце XVI в. присоединяется Голландия, переживавшая в это время первую в Европе буржуазную революцию.

Проблема решения алгебраических уравнений, расширение понятия числа, совершенствование символики, решение уравнений 3-й и 4-й степеней в радикалах.

Наибольших успехов математики Европы XV—XVI вв. добились в области алгебры. Крупнейшим европейским алгебраистом XV в. был итальянец Лука Пачоли. Основным трудом Пачоли была «Сумма [знаний] по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», изданная в Венеции в 1494 г. В арифметической части «Суммы» излагались различные приемы арифметических действий, в том числе индийский прием умножения с помощью решетки.Пачоли дает мистическое «объяснение» того, что совершенные числа оканчиваются лишь на 6 и 8 тем, что добрые и совершенные люди соблюдают установленный порядок. По самым разнообразным поводам Пачоли цитирует библию.

Алгебру Пачоли называет regula della cosa — «правилом вещи» и arte maggiore — «великим искусством». Он пользуется алгебраическими символами, квадратный корень обозначает R*, (radice — корень) или R* 2, кубический корень R* 3 или R* cuba, корень четвертой степени R* 4 или R*R*- Свободный член в уравнениях Пачоли обозначает пo (numero — число), х — со (cosa — вещь), х2 — се (censo — квадрат, от латинского census), х3 — cu (cubo), x4 — се. се. (censo de censo), x5 — poro (primo relato — «первое relato»), х6 — се. сu. (censo de cubo), x7 — 2oro (secondo relato —«второе relato»), x8 — ce. ce. ce. (censo de censo, de censo), x9 — cu. cu. (cubo de cubo), x10 — ce. poro (censo de primo relato), x11 — 3oro (tersio relato — «третье relato») и т. д. Система названий степеней у Пачоли была мультипликативной (х6 = x2*3, х8 = x2*2*2, х9 = х3*3, ...). Названия простых степеней, которые нельзя выразить в виде произведений 2 и 3, у Пачоли состоят из номера простой степени и слова relato. Этот принцип у Пачоли выдержан не вполне последовательно: называя x13, x17, x19 и x23 соответственно четвертым, пятым, шестым, седьмым relato, он называет x25 не poro de poro, а восьмым relato и x29 — девятым relato.

Второе неизвестное (наш у) Пачоли называл quantita (количество) и обозначал qpo, у2 — се. de qpo и т. д. Сложение обозначалось знаком р (plus или piu — «больше», откуда наше слово «плюс»), вычитание — знаком m (minus, или meno — «меньше», откуда наш «минус»). Пачоли употребляет и выражения типа «m4 меньше нуля» и формулирует правило знаков при умножении чисел, перед которыми стоят знаки р и m На трактовку Пачоли отрицательных чисел, по-видимому, оказало влияние то, что он был изобретателем двойной бухгалтерии, в которой все денежные операции записываются в столбцах «кредита» (дохода) и «дебета» (долга); теория бухгалтерии изложена Пачоли в той же «Сумме».

Во Франции оригинальный вклад в алгебру был сделан бакалавром медицины Никола Шюке, уроженцем Парижа, работавшим в Лионе, крупном торговом центре, где имелась большая итальянская колония. Последнее обстоятельство не осталось без влияния на законченный в 1484 г. рукописный труд Шюке «Наука о числах в трех частях». Это сочинение, написанное по-французски, содержит правила вычислений с рациональными числами, затем с иррациональными корнями и, наконец, учение об уравнениях. В нем по аналогии с итальянским термином millione (буквально «большая тысяча»), вводятся дальнейшие термины «биллион», «триллион» и т. д. до «нониллиона».

Заслуживает упоминания сопоставление Шюке арифметической и геометрической прогрессий 1, 2, 3, ...,п и а, а2, а3, ..., аn. Написав их друг под другом, он отмечает, что произведению двух членов нижней прогрессии соответствует сумма стоящих над ними членов верхней. Здесь налицо предвосхищение свойств будущих логарифмов. Так же как и Пачоли, Шюке приводит правила действий с отрицательными числами и пользуется для сложения и вычитания знаками р и m. Знак m служит и для обозначения отрицательных чисел, которые Шюке называет ung moins, т. е. «менее». Отрицательные числа применяются уже в первой части книги, при решении задач на тройное правило и правила ложных положений.

Алгебраические буквы, которыми Пачоли обозначал неизвестную и ее степени и которыми с незначительными видоизменениями пользовались итальянские алгебраисты XVI в., были важным шагом на пути создания алгебраической символики. Следующий шаг был сделан немецкими алгебраистами XVI в., известными под названием «коссистов». Это название объясняется тем, что они именовали алгебру Coss — от итальянского слова cosa — вещь, обозначавшую неизвестную у итальянских алгебраистов.

Название «Regel Algebre oder Cosse» для алгебраических правил мы встречаем в арифметике Яна (Иоганна) Видмана, уроженца чешского города Хеба, преподававшего в Лейп-цигском университете. Видман был первым, кто начал в университете чтение лекций по алгебре. Учебник Видмана «Быстрый и красивый счет для всего купечества» был напечатан в Лейпциге в 1489 г. и вскоре был еще несколько раз издан в различных немецких городах; эта книга знаменита тем, что здесь впервые появились знаки + и —, заменившие знаки р и m итальянцев. Знак +, по-видимому, произошел от знака &, применяемого до настоящего времени в названиях торговых и промышленных компаний и, в свою очередь, происходящего от латинского союза et — «и». Наиболее знаменитыми коссистами были Адам Ризе (1489—1559), известный также под именем Gigas (латинский перевод слова Riese — великан, гигант), уроженец Франконии, написавший учебник «Coss» в 1524 г., и Кристоф Рудольф (1500 — середина XVI в.) из Яуэра (Явора) в Силезии, выпустивший в 1525 г. в Страсбурге учебник под традиционным названием «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс».

Пачоли закончил раздел «Суммы» об алгебраических уравнениях замечанием о том, что для решения кубических уравнений х3 + ах = b и х3 + b = ах (коэффициенты а и b предполагаются положительными) «искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга». Эти слова Пачоли послужили отправным пунктом для работ итальянских алгебраистов по решению кубических уравнений в радикалах, открытие которого было первым крупным математическим достижением европейских ученых.

Первым удалось решить в радикалах один из видов кубического уравнения х3 + ах = b (а, b > 0) профессору Болонского университета Ши-пионе дель Ферро. По обычаю того времени дель Ферро не опубликовал решения, а сообщил его своему ученику Фиор, который пользовался правилом решения, найденным дель Ферро, на математических турнирах. На одном из таких турниров Фиор встретился с Николо Тартальей (см. рис. слева).

Тарталья перед турниром, состоявшимся 12 февраля 1535 г., самостоятельно нашел правило дель Ферро и решил все задачи, предложенные Фиоре, который был настолько обескуражен, что не решил ни одной задачи, предложенной Тартальей. Через день после турнира Тарталья нашел и решение уравнения х3 = ах + b. Эти открытия Тартальи были опубликованы в алгебраическом трактате Джироламо Кардано (см. рис. справа) «Великое искусство, или об алгебраических правилах».

В 1539 г. Кардано, узнав об открытии Тартальи, выпросил у него формулировку решения, поклявшись его не публиковать. Тарталья сообщил свое правило в стихотворении из 25 строк, составленном им для лучшего запоминания. Восстановив по не вполне ясным формулировкам правило и доказав его, Кардано счел себя вправе поместить решение в своей книге, упомянув об авторстве Тартальи. Несмотря на это, за правилом закрепилось название «формула Кардано».

Уравнение х3 + ах = b решалось дель Ферро и Тартальей следующим образом: находились числа и и v, удовлетворяющие условиям u - v = b, uv = (a/3)3 (и и (- v) являются корнями квадратного уравнения у2 - by - (a/3)2 = 0) и x = 3u - 3v. т. е.

x=(b2)2+(a3)3+b23(b2)2+(a3)3b23.

Для решения уравнения х3 = ах + b Тарталья находил числа u и v, удовлетворяющие условиям u + v = b, uv = (a/3)3 (т.е. корни уравнения у2 - by + (a/3)3 = 0, тогда x = 3u + 3v, т.е.

x=(b2)2(a3)3+b23+(b2)2(a3)3b23.

Об уравнении х3 + b = ax Тарталья в том же стихотворении сообщал, что его можно решить при помощи уравнения х3 = ах + b. Связь между этими двумя уравнениями состоит в том, что положительные корни одного из них равны модулям отрицательных корней другого. В случае, когда (b/2)2 > (a/3)3, уравнение х3 = ах + b имеет один положительный корень и два мнимых, которые математики XVI в. не рассматривали. В случае, когда (b/2)23, уравнение х3 = ах + b имеет один положительный корень и два отрицательных, и, следовательно, уравнение х3 + b = ах — два положительных корня и один отрицательный. Этот случай Кардано назвал «неприводимым», так как действительное значение х при этом является суммой двух мнимых выражений, и считал неразрешимым.

Полные кубические уравнения сводились к уравнениям указанного вида при помощи подстановки. Например, Кардано решал уравнение х3 + bх = х2 + с, сводя его к решенным ранее видам уравнений при помощи подстановки х = у + a/3.

В «Великом искусстве» Кардано был изложен также открытый его учеником Луиджи Феррари метод решения уравнения четвертой степени. Этот метод непосредственно применяется к уравнениям вида х4 + ах2 + bх + с = 0 (Кардано, пользовавшийся только положительными коэффициентами, записывал члены по обе стороны от знака равенства). Уравнение четвертой степени общего вида можно привести к этому виду подстановкой х = у + p. Феррари заметил, что (x2+a2)2=x4+ax2+a24=bxc+a24, и добавил к обеим частям 2(х2 + a/2)t + t2. Слева получился полный квадрат (х2 + a/2 + t)2, а правая часть 2tx2bx+(t2+atc+a24) является полным квадратом в том случае, когда b2=2t(4t2+4at+a24c). Решив это кубическое уравнение и найдя один из его корней, Феррари извлекал квадратные корни из обоих полных квадратов и получил квадратные уравнения x2+a2+t0=±2t0(xb4t0), корни которых являются корнями данного уравнения.

Решение уравнений третьей и четвертой степеней в радикалах имело огромное значение для прогресса алгебры, да и всей математики. Само по себе с точки зрения вычисления значений корней их представление с помощью радикалов не имело преимуществ перед другими приемами приближенного решения уравнений. Здесь важны были новые, глубокие теоретические вопросы, возникавшие перед наукой, и прежде всего общая проблема решения в радикалах уравнений высших степеней — проблема, во многом определившая развитие алгебры на протяжении следующих столетий и создание сначала теоретико-групповых методов исследования, а затем и самой теории групп.

Алгебра Виета.

Франсуа Виет (1540—1603) — французский математик, юрист по образованию и роду деятельности. Во время педагогических занятий в одной влиятельной семье у него возник план новой астрономической системы, долженствующей заменить неточную, по его мнению, систему Коперника. В связи с этим замыслом Виет положил много сил на усовершенствование тригонометрии и достиг замечательных успехов. Главным трудом его жизни было «Введение в искусство анализа» — огромное и чрезвычайно обстоятельно написанное сочинение по новой алгебре. Труд этот выходил с 1591 г. частями, в значительной части после смерти автора и не был полностью завершен.

Замысел Виета определялся следующими соображениями: крупные успехи итальянских математиков в решении уравнений 3-й и 4-й степени опирались на высокую эффективность алгебраических приемов. Но число отдельных видов алгебраических уравнений угрожающе быстро росло, достигая, например, у Кардано 66; каждый из этих видов требовал особых приемов. Необходимо было найти общие методы подхода к решению алгебраических уравнений; последние тоже должны рассматриваться в возможно более общем виде с буквенными коэффициентами. Кроме того, необходимо было сочетать эффективность алгебраических приемов со строгостью античных геометрических построений, хорошо знакомых Виету и представлявших, по его мнению, образцы подлинно научного анализа.

Исчислению Виета предшествует арифметика, оперирующая с числами: logistica numeralis. Исчисление букв получает название logistica speciosa от слова species— член математического выражения. Исчисление распадается на: зететику — искусство решения уравнений; пористику — искусство доказательства правильности полученных решений; экзегетику — общую теорию уравнений. Все величины обозначены буквами: неизвестные — гласными, известные—согласными. Числа — безразмерны, положительны, рациональны (в случаях иррациональностей Виет переходит на язык геометрии), величины же имеют размерность. Это геометрическое влияние на концепцию величины усиливается специальной терминологией: первая степень величины называется latis (сторона), вторая — planum (площадь), третья — so-lidum (тело). Далее следуют плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и т. д. величины. Сложение и вычитание производятся над одноразмерными величинами. Последние, впрочем, допускается подравнивать в размерности путем умножения на единицу длины. Умножение и деление вызывают изменение размерности. Эти идеи отражали наличие непреодоленного еще разрыва между числами и величинами. Позднее выяснилось, что они явились предтечей ряда математических исчислений: векторного, тензорного, грассмановой алгебры.

Символика Виета также отягощена еще грузом геометрических привнесений; она тяжела, не всегда понятна, перемежается сокращенными и даже несокращенными словами. Например: 1)Acubus+BplanuminaequaturDsolido(A3+3AB=D),2)BparabolainAgradumApotestateaequaturZhomogenae(BAnAm+n=Z). Тем не менее благодаря этой символике стало впервые возможным выражение уравнений, их свойств, общими формулами. Объектами математических операций стали не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал Виет в характеристику своего исчисления как «искусства, позволяющего хорошо делать математические открытия».

В сочинениях Виета подводится своеобразный итог математики эпохи Возрождения. Особенно отчетливо эта особенность проявляется в его алгебраических трудах. В них подробно и обстоятельно изложены сведения об уравнениях 1—4-й степеней. Общий характер записи позволяет Виету все изложение строить не как собрание рецептов, а как общую теорию уравнений. Для этого он использует богатый арсенал алгебраических преобразований, опирающийся на подстановки: х = у + k (чтобы исключить член, имеющий неизвестное во второй по величине степени), х = y/k (для исключения члена, содержащего х), x = ky (с целью устранения дробных коэффициентов), х = ay/b (чтобы придать коэффициенту при хn-1 данное значение) и др. От радикалов он освобождался путем отъединения одного члена и возведения обеих сторон уравнения в степень

Например, всякое кубическое уравнение он преобразует к виду х3 - 3ах = b и применяет затем подстановку a = t2 + tx, чтобы прийти к уравнению x3 + 3tx2 + 3t2x = b. Из последних двух уравнений, преобразованных к виду: (x+t)3t3=b,t3(t+x)3=a3, он получает квадратное относительно t3 уравнение: (t3)2 + bt3 = a3. Можно и непосредственно подставить х = (a - t2)/t в уравнение, чтобы получить тот же результат.

Неприводимый случай кубического уравнения Виет свел к задаче о трисекции угла. Он показал, что всякое неприводимое уравнение может быть преобразовано к виду х3 — 3х = а. Сопоставляя его с тригонометрическим соотношением (2cos)3 — 3(cos) = 2cos3, Виет демонстрирует такое сведение. Задачу о трисекции угла он решает известным ему из античных источников методом вставок.

При решении уравнений Виет разыскивает положительные корни. С помощью преобразования х = (-у) он подходит к проблеме нахождения отрицательных корней. Развивая результаты Кардано, Виет высказывает ряд теорем о взаимозависимости корней уравнений и их коэффициентов, включающих частные случаи теоремы, известной ныне под его именем. В связи с этим он рассматривает, в указанных выше границах, образование уравнений произведением биномов: Pn(x)=k=1n(xxk)(n<5,xk<0).

Алгебра Виета была еще несовершенной и имела крупные недостатки. Ее очень утяжеляла видовая трактовка величин, обладающих размерностью. В ней нет общей трактовки степеней, все степени натуральные. Принципиальное разделение чисел и алгебраических величин не позволяло ему употреблять радикалы для величин, а лишь для чисел и т. п.

Сопоставление алгебраической и тригонометрической задачи, отмеченное при решении кубического уравнения, не было для Виета случайной находкой. Виет проявил интерес к алгебре именно в силу ее пригодности и даже необходимости для задач тригонометрии и астрономии. В дальнейшем тригонометрические и алгебраические труды и результаты следуют одновременно, нередко переплетаясь. Виет не ограничился определением всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным элементам. Ему принадлежат разложения тригонометрических функций кратных дуг посредством последовательного применения формул для синуса и косинуса суммы двух углов: cosm=cosmm(m1)12cosm2sin2+…sinm=mcosm1sinm(m1)(m2)123cosm3sin3+…

После смерти Виета стали известны многие его рекуррентные формулы, вроде: cosm=2coscos(m1)cos(m2),sinm=2cossin(m1)sin(m2),sinm=2sincos(m1)+sin(m2),cosm=2sinsin(m1)+cos(m2). Несколько странное впечатление оставляет то, что подобные крупные результаты гониометрии достигнуты при недостаточно общем определении тригонометрических функций как отношений сторон прямоугольного треугольника без намека на введение производящей окружности. Так часто бывает в истории; результаты сначала появляются, а потом осмысливаются и получают удовлетворительную общую трактовку.

Проблема перспективы в живописи Ренессанса и математика.

Перспективное изображение пространственных фигур, т. е. центральное проектирование этих фигур на плоскость, применялось еще древними греками в «скенографии» — искусстве писать сценические декорации. Различные виды центральных проекций рассматривались в «Оптике» Евклида и в «Планисферии» Птолемея. Теории перспективы была посвящена в значительной части «Оптика» польского ученого XIII в. Витело, который изложил основные результаты теории перспективы, имевшиеся в «Оптике» Евклида, «Оптике» Птолемея и в «Книге оптики» Ибн ал-Хайсама. «Оптика» Витело оказала значительное влияние на дальнейшее развитие науки, в частности сыграла важную роль в развитии геометрии. Сочинение Кеплера «Оптическая часть астрономии» носит подзаголовок «Дополнение к Витело».

Леон-Баттисты Альберти в своем трактате «О живописи» разработал метод построения изображения расположенных друг за другом равных и параллельных отрезков в виде параллельных отрезков, заключенных между двумя линиями, пересекающимися на линии горизонта. Метод Альберти ясен из его чертежа (см.рис.).

Пьетро деи Франчески в трактате «О перспективе в живописи» описал построение перспективного изображения предмета по его вертикальной и горизонтальной проекциям. Приведем построение деи Франчески перспективного изображения правильного пятиугольника (см. рис.).

Вопросы теории перспективы рассматривались также в сочинениях великого итальянского художника Леонардо да Винчи,широко пользовавшегося перспективой в своей живописи. Леонардо да Винчи, занимаясь экспериментальными науками, механикой, оптикой, астрономией, видел в математике образец научной доказательности, а механику называл «раем математических наук». В своем «Трактате о живописи» он рекомендовал художникам изучать науки, в том числе излагаемую здесь геометрическую перспективу. Он указывал, что «влюбленные в практику без науки — словно кормчий, вступающий на корабль без руля или компаса; он никогда не уверен, куда плывет». Но и наука без практики похожа на «стоячую воду, которая либо гниет, либо замерзает на холоде, а ум человека, не находя себе применения, чахнет».

Жизнь, полная скитаний, не дала Леонардо да Винчи возможности разработать свои научные идеи и изложить их в виде законченных сочинений. Однако сохранились его записные книжки, содержащие отрывочные заметки и наброски, в большинстве не законченные. В них много внимания уделено нахождению равновеликих площадей и объемов, звездчатым многоугольникам, построению правильных многоугольников на данной стороне либо вписанных в данную окружность, причем часто при условии постоянного раствора циркуля. Некоторые решения были приближенными (например, построения семи- и девятиугольника), а некоторые сам Леонардо признал впоследствии ошибочными. В тетрадях содержатся также исследования луночек, замечания о различии кривых простой и двойной кривизны, о невозможности квадратуры круга, о введении знаков + и —. Приближенную квадратуру Леонардо предлагает осуществить при помощи колеса, ширина которого равна половине его радиуса. Если катить его по плоскости, то при полном повороте его прямоугольный след будет иметь площадь, равную площади его основания. Замечательно, что, исследуя центры тяжести фигур и тел, например полукруга и тетраэдра, а также определяя площадь эллипса, Леонардо применил методы Архимеда, предвосхитив ученых XVII в. Им были изобретены математические приборы — циркуль для пропорционального увеличения или уменьшения фигуры, прибор для вычерчивания параболы и др.

Много внимания теории перспективы уделял великий художник того времени — немец Альбрехт Дюрер. Дюрер написал специально для художников «Наставление об измерении с помощью циркуля и линейки», изданное по-немецки в Нюрнберге в 1525 г. и по-латыни в Париже в 1532 г.

В своем трактате «О человеческой пропорции» (см. рис.), изданном вскоре по-латыни под названием «О симметрии частей человеческих тел», а затем и во французском и итальянском переводах, Дюрер рассматривает проекции различных частей человеческого тела на три взаимно перпендикулярные плоскости спереди, сбоку и сверху, а также на вертикальные плоскости, составляющие с первыми двумя плоскостями острые углы (см. рис.). В этом же сочинении приводится огромный статистический материал, содержащий измерения различных частей тел мужчин и женщин различных комплекций.

Иррациональные числа.

Европейские математики Средних веков и эпохи Возрождения широко пользовались арифметическими действиями над квадратными корнями из чисел, а также из выражений, содержащих квадратные корни, и применяли к этим выражениям термины X книги «Начал» Евклида «биномиали», «вычеты», «медиали», «бимедиали» и т. д. Большинство используемых нами терминов этого вида являются латинскими, восходящими именно к этим терминам математиков средневековой Европы. Мы находим их уже у Леонардо Пизанского, который дополнил терминологию Евклида «триномиалью», обозначающую сумму трех квадратных корней. Арифметические действия с квадратичными иррациональностями мы встречаем и в «Сумме» Луки Пачоли, и в «Общем трактате» Тартальи, и в сочинениях Кардано. Исключительно подробно на этой теории останавливаются Кристоф Рудольф в «Алгебре» и Михаэль Штифель в своих дополнениях к ней: эта теория занимает почти половину книги Рудольфа и Штифеля, столько же занимает эта теория в «Полной арифметике» Штифеля.

Однако итальянские и немецкие математики XV—XVI вв., которые, по существу, обращались с иррациональностями как с числами, все же не решались порвать с традициями, исключающими их из области настоящих чисел. Радикально противоположную позицию занял Симон Стевин(см. рис.). В «Арифметике» он определил число как «что, с помощью чего выражается количество всякой вещи», и полагал, «что число является непрерывным количеством, и что, в частности, единица делима». Там же он остроумно критиковал принятые в то время наименования и прямо заявлял, что «нет никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, невыразимых или глухих чисел». С некоторой осторожностью Стевин включал в понятие числа и отрицательные числа. Эта концепция единого понятия действительного числа имела важнейшее значение для дальнейших, успехов алгебры и ее приложений в геометрии, приведших к появлению математики переменных величин.

Отрицательные, мнимые и комплексные числа (Дж. Кардано, Р. Бомбелли и др.).

Одной из важнейших особенностей европейской математики было систематическое пользование отрицательными числами. Впервые отрицательные числа появились в Европе в «Книге абака» Леонардо Пизанского при рассмотрении семи неопределенных уравнений с восемью неизвестными х, у, z, t, и, v, w, s: x+y+z+12(t+u+v+w)=s,y+z+t+13(u+v+w+x)=s,&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;&ctdot;w+x+y+18(z+t+u+v)=s.

Леонардо говорит, что эта задача неразрешима, но становится разрешимой, если принять, что за третьим человеком имеется долг, тогда решение принимает вид: х = 507, у = 171, z = долг 9, t = 1347, и = 451, v = 131, w = 1431, s = 2349. Аналогичные примеры отрицательных чисел, истолковываемых в виде долга, встречаются еще в нескольких задачах «Книги абака».

Отрицательные числа имеются и в арифметиках Пачоли и Шюке. Более подробно излагает этот вопрос Шюке, который обозначает отрицательные числа выражением вида 0 m~ 11, называет их числами, «меньшими, чем ничто», и истолковывает их как долг; сопоставляя натуральным числам степени аn, Шюке сопоставляет отрицательным числам степени 1/аn,т. е. по существу, вводит отрицательные показатели. Однако еще Кардано называет отрицательные корни алгебраических уравнений «фиктивными».

Применение отрицательных чисел позволяет рассматривать вместо трех форм квадратных уравнений x2=ax+b,x2+ax=b,x2+b=ax с положительными корнями единую форму, за которую можно принять любую из них. Такая единая трактовка различных форм квадратных уравнений, в Европе впервые встречается только в «Полной арифметике» М. Штифеля, который записывает все три вида этих уравнений в форме, равносильной современной записи x2 = ax + b, и описывает решение этого уравнения во всех трех случаях (а > 0, b > 0; а > 0, b 0).

Штифель мысленно изображает положительные и отрицательные числа на вертикальной прямой (подобно делениям шкалы термометра). Геометрическое истолкование отрицательных чисел явилось решающим фактором для того, чтобы на них перестали смотреть как на «фиктивные числа».

Геометрическое истолкование отрицательных чисел получило широкое распространение после появления аналитической геометрии, где положительные и отрицательные числа стали рассматриваться как координаты точек. Термины «положительпый» (еще affirmativus — «утвердительный», а не positivis) и «отрицательный» (negativus и privativus) впервые в Европе появились в рукописи «Initius Algebra».

Впервые мнимые величины встречаются в «Великом искусстве» Кардано. Кардано вводит эти величины при решении задачи деления 10 на две такие части, произведение которых равно 30 или 40 (максимальное произведение вещественных частей 10 равно 25). Кардано пишет: «Если кто-нибудь потребует, чтобы разделить 10 на две части, которые при перемножении дали бы 30 или 40, то ясно, что этот случай или вопрос невозможен. Но мы поступим так: разделим 10 пополам, половина будет 5; умноженная на самое себя, она даст 25. Затем вычти из 25 то, что должно получиться по перемножении, скажем 40, тогда останется m : 15; если взять от этого R* и прибавить к 5 и вычесть из 5, то получаются части, которые, перемноженные между собой, дадут 40. Таким образом, части эти будут 5 р : R*m : 15 и 5m : R*m : 15. В современных обозначениях решения Кардано имеют вид 5 ± (-15), т.е. 5 ± i15. Кардано называл мнимые величины «чисто отрицательными» и «софистически отрицательными». Он считал их бесполезными и стремился не применять их.

Первым математиком, оценившим пользу мнимых величин, в частности при решении кубического уравнения в «неприводимом» случае, был работавший в Болонье инженер-гидравлик Рафаэль Бомбелли, автор «Алгебры», составленной около 1560 г. и изданной в 1572 г. В первой книге этого труда, рассматривая кубические уравнения х3 = рх + q в том случае, когда (p/3)3 > (q/2)2, Бомбелли пишет, что разность (q/2)2 - (p/3)3 по извлечении квадратного корня «не может быть названа ни плюсом (piu), ни минусом (meno); поэтому я буду называть ее плюсом минуса (piu di meno), когда она должна прибавляться, а в тех случаях, когда она должна отниматься, я буду называть ее минусом минуса (meno di meno)... корни этого рода покажутся многим скорее софистическими, чем имеющими действительное значение, такого же мнения держался и я до тех пор, пока не нашел доказательства на линиях». Таким образом, у Бомбелли piu du meno R.q.5 означает (-5), а meno di meno R.q.3 означает -(-3). Итальянское piu (от латинского plus) значит больше, a meno (от minus) — меньше. Э. Бортолотти полагал, что терминология Бомбелли возникла из сокращения piu radice di meno (плюс корень из минуса) и meno radice di meno (минус корень из минуса), но вполне возможно, что эта терминология была просто специально придумана.

Вслед за тем Бомбелли сообщает восемь правил умножения мнимых и действительных чисел, закладывая тем самым первый камень фундамента теории комплексных чисел. В наших обозначепиях: (±1)i=±i,(±1)(i)=&mnplus;i,(+i)(+i)=1,(+i)(i)=+1,(i)(+i)=+1,(i)(i)=+1.

Во второй книге «Алгебры» Бомбелли исследует неприводимый случай, опираясь на обнаруженную им сопряженность кубических корней из двух сопряженных комплексных чисел. Бомбелли был последним в блестящей плеяде итальянских алгебраистов XVI в.

Десятичные дроби.

В средневековой Европе, как и в странах ислама, широко применялись шестидесятиричные дроби. Особенно широко применялись шестидесятиричные дроби в астрономических вычислениях и таблицах, поэтому-то нередко они назывались астрономическими; иногда их называли также физическими или философскими. Некоторые ученые, например Оронс Финеус, первый профессор математики в основанном около 1530 г. и впоследствии столь знаменитом парижском Коллеж де Франс, распространяли шестидесятиричный счет на целые числа, однако в Европе эти попытки почти не имели успеха. Напротив, десятичный счет получал постепенно все более широкое распространение и в астрономических выкладках. Воспитанник и лектор Венского университета Георг Пейербах (1423—1461) в своих неопубликованных таблицах синусов соединил шестидесятиричный и десятичный принципы: он выразил значения синусов в целых десятичных числах при радиусе круга, равном 60 х 104. Примеру Пейербаха последовал сначала его ученик Иоганн Мюллер (Региомонтан), причем взял радиус равным 60 х 105. Но затем Региомонтан отказался от шестидесятиричности и в 1467 г. составил первые чисто десятичные тригонометрические таблицы — таблицы тангенсов при радиусе 105, посмертно изданные в Аугсбурге в 1490 г. Правда, при этом, как и в различных других таблицах той поры, значения тригонометрических величин выражались в целых числах, но отсюда уже было недалеко до десятичных дробей. Такие дроби применяются в «Математическом каноне» французского математика XVI в. Ф. Виета, опубликованном в Париже в 1579 г.

В этом сочинении, представляющем собой собрание таблиц синусов, тангенсов и секансов вместе с изложением плоской и сферической тригонометрии, Виет решительно выступил в пользу употребления, как он выражался, тысячных и тысяч, сотых и сотен, десятых и десятков и т. д. взамен шестидесятиричной системы целых и дробей. При записи десятичных дробей Виет не придерживался какого-либо одного обозначения. Нередко он пишет как числитель, так и знаменатель, иногда отделяет цифры целой части от дробной вертикальной чертой (скажем, синус 60° при r = 100 000 есть 86,602| 540,37), или же цифры целой части изображает жирным шрифтом (длина полуокружности при том же радиусе есть 314,159,265,36) или, наконец, цифры дробной части дает более мелким шрифтом и подчеркивает (сторона вписанного квадрата при том же радиусе есть 141,421,356,24).

Значение систематических дробей, представляющих собой суммы последовательных степеней одного и того же основания, подчеркивалось в математической литературе неоднократно, начиная по крайней мере с арифметики Иоанна Севильского. В анонимном «Алгоризме дробей» XVI в. при этом указывается, что вместо основания 60 можно взять и другое, скажем 12 или 10. Во второй половине того же века систему десятичных дробей описал Иммануил Бонфис из Тарас-кона, один из представителей процветавшей тогда в Южной Франции школы еврейских астрономов и математиков. В трактате «Путь деления», написанном на древнееврейском языке, Бонфис строит систему дробей, в которой 1 = 10 примам, 1 прима = 10 секундам, 1 секунда = 10 тер-цеям и т. д., и кратко объясняет правила основных операций. Это сочинении не получило, по-видимому, известности у современников; оно было обнаружено около 30 лет тому назад.

Широкое распространение десятичных дробей в Европе началось только после выхода в свет «Десятой»(см. рис.) фламандского математика Симона Стевина. Стевин, уроженец Брюгге, вначале был купцом, затем стал инженером. В 1585 г. в книге «Десятая», определив десятичные дроби, он с большим пылом агитирует как за повсеместное введение десятичных дробей, так и за введение десятичной системы мер и монет. В том же году Стевин выпускает в Лейдене «Арифметику», где излагает не только арифметику, но и алгебру. Стевин обозначает целые знаком 0, десятые — знаком 1, сотые — знаком 2 и т. д., причем цифры 0, 1, 2, ... стоят над значащими цифрами или после них в кружках. Громоздкая символика Стевина нашла мало сторонников. Еще при его жизни Ф. Виет ввел специальные знаки для произвольных коэффициентов алгебраических выражений.

Тригонометрия в астрономических сочинениях.

Тригонометрия в Европе появляется в XII в. вместе с переводами астрономических сочинений ученых стран ислама. Арабское название линии синуса «джайб» — транскрипция индийского слова «джива» — «тетива» — было переведено латинским словом sinus — буквальным переводом слова «джайб» — впадина, пазуха; в рукописях XII в. наряду со словом sinus встречается и слово geib — латинская транскрипция слова «джайб». Вскоре появляются также sinus-versus — разность между радиусом круга и линией косинуса, umbra recta (прямая тень) — название линии котангенса, перевод арабского выражения «плоская тень», umbra versa — название линии тангенса, перевод арабского выражения «обращенная тень». Наряду с термином «синус» в Европе до XV в. применялся птолемеевский термин «хорда удвоенной дуги».

С тригонометрией были тесно связаны исследования немецкого ученого-гуманиста Николая Кузанского. Он деятельно занимался математикой, астрономией, механикой, географией, философией и правом, им была предложена реформа календаря и составлена карта Европы. В 1445—-1449 гг. он написал трактаты «О квадратуре круга» и «О соизмерении прямого и кривого» — о спрямлении окружности. Вслед за Аристотелем и многими другими Николай Кузанский был убежден в невозможности точной квадратуры круга и искал достаточно точные приближения построения.

Первым крупным сочинением по тригонометрии в Европе были «Пять книг о треугольниках всех видов» (см. рис.) немецкого математика и астронома Иоганна Мюллера из Кенигсберга, прозванного по латинскому названию места рождения Региомонтаном (см. рис.). Региомонтан в двенадцатилетнем возрасте поступил в Лейпцигский университет, затем был в Венском университете учеником Пейрбаха, а с 1458 г. сам стал читать там лекции. Путешест вуя по Италии, он изучил греческий язык.

Сочинение о треугольниках было написано Региомонтаном в Италии в 1462—1464 гг. В нем излагались задачи на построение треугольников, причем некоторые из них решены алгебраически, а не построением, далее тригонометрия на плоскости и на сфере. Это был первый труд в Европе, в котором тригонометрия рассматривалась в широком объеме как самостоятельная математическая дисциплина. Основное содержание тригонометрии Региомонтана взято из арабской литературы, но Региомонтану принадлежит заслуга систематизации и превосходного изложения огромного материала, который он дополнил собственными частными результатами и во многих случаях оригинальными доказательствами.

В частности, Региомонтан доказал сферическую теорему косинусов.Формулировка Региомонтана представляет собой обобщение правила Ибн Корры для определения высоты Солнца по широте местности, склонению Солнца и часовому углу, известного Региомонтану по «Книге о науке звезд» ал-Баттани. Региомонтан вычислил таблицы синусов и тангенсов, в которых радиус круга полагался равным 107, что равносильно вычислению этих таблиц в десятичных дробях с семью десятичными знаками.

На развитие тригонометрии существенное влияние оказал великий польский астроном Николай Коперник (см. рис.). Основной труд Коперника, содержащий изложение его гелиоцентрической системы «О вращениях небесных сфер», был напечатан в Нюрнберге почти одновременно со смертью его автора. От астрономов, принявших точку зрения Коперника, требовались более точные астрономические наблюдения и более тщательная их математическая обработка, что вызвало необходимость создания более точных тригонометрических таблиц и дальнейшего совершенствования техники тригонометрических вычислений. В XIII главе второй книги труда Коперника содержится краткое изложение плоской тригонометрии, а в XIV главе той же книги — изложение сферической тригонометрии. Коперник вычислил также более точные таблицы синусов.

В книге «О вращениях небесных сфер» Коперник дал оригинальный вывод теорем сферической тригонометрии, основанный на рассмотрении трехгранного угла, проектирующего сферический треугольник из центра сферы. Терминология Коперника похожа не на терминологию Региомонтана и ученых стран ислама, а на терминологию Птолемея. Так, например, он доказывает теорему синусов для прямоугольного сферического треугольника в следующей формулировке: «В сферических треугольниках, имеющих прямой угол, хорда, стягивающая удвоенную дугу, лежащую против прямого угла, к хорде, стягивающей удвоенную сторону, одну из прилежащих к прямому углу, относится как диаметр сферы к хорде, стягивающей на большом круге сферы угол, вдвое больший угла, заключенного между последней и первой сторонами сферического треугольника».

Термин «тень» был заменен на «тангенс» (от латинского слова tangens — «касающийся») в XVI в. в «Геометрии круглого» датского математика Томаса Финке. Финке же был введен термин «секанс» (от латинского слова secans — «секущий»).

В эпоху Возрождения математика Европы впервые вышла за пределы знаний, полученных в наследство от древних греков и народов Востока. Именно в это время закончилась решительной победой многовековая борьба за введение позиционной десятичной арифметики. В это время была создана арифметическая и алгебраическая символика, отсутствие которой тормозило прогресс теории уравнений ранее. Введены были дробные и отрицательные показатели и отрицательные числа; успешно решена проблема решения в радикалах уравнений третьей и четвертой степеней — проблема, перед которой остановились ученые стран ислама. В связи с решением этой проблемы были формально введены мнимые числа. Виет построил алгебру как символическое исчисление, введя специальные буквенные обозначения для неизвестных и для коэффициентов многочленов, а также расширив символику алгебраических операций. В арифметике были введены десятичные дроби, удобства которых быстро оценили ученые. Значительны были достижения плоской и сферической тригонометрии, были усовершенствованы методы вычисления таблиц. Математика во все большей мере становилась мощным средством решения быстро расширявшегося круга задач не только торговли и землемерия, но и новой техники и нового естествознания. Лучшие умы справедливо начали видеть в математике основной, наряду с экспериментом, метод изучения природы. Долгий период изучения постоянных величин подходил к завершению. Были созданы условия для возникновения теории переменных величин, символической алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений.

Источник: Рыбников, К.А. История математики: В 2 т. / К.А. Рыбников, – М.: Изд-во МГУ, 1960. – Т.1 – 191 с.