Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскостиАналитическая геометрияЛекция 7. Уравнение прямой на плоскостиСбродова Елена Александровна19 октября 2011 г.Аналитическая геометрия. Лекция 7Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскостиКоординатное уравнение кривыхПусть на плоскости в некоторой системе координат данакривая l. Будем говорить, что l задается уравнениемF (x, y) = 0, тогда и только тогда, когда выполнены дваусловия:• Координаты любой точки на l удовлетворяютуравнению F (x, y) = 0.• Любое решение уравнения F (x, y) = 0 — точка на l.Аналитическая геометрия. Лекция 7Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскостиКоординатное уравнение кривыхx y = 0Аналитическая геометрия. Лекция 7Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскостиПараметрическое уравнение кривыхКривая l может быть задана системой уравненийx = (t) , где t — параметр, принимающий любоеy = (t)значение. Фиксировав параметр t, получим два числа —координаты точки на прямой l.Пример.Биссектриса первого и третьего координатных углов можетбыть задана параметричекиx = ty = tАналитическая геометрия. Лекция 7Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскостиПараметрическое уравнение кривыхКривая l может быть задана системой уравненийx = (t) , где t — параметр, принимающий любоеy = (t)значение. Фиксировав параметр t, получим два числа —координаты точки на прямой l.Пример.Биссектриса первого и третьего координатных углов можетбыть задана параметричекиx = ty = tАналитическая геометрия. Лекция 7Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскости• x2 + y2 = 1x = cos t•y = sin tАналитическая геометрия. Лекция 7Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскостиx = sin 2tКривая Лиссажу:y = cos 3tАналитическая геометрия. Лекция 7Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскостиВ пространстве уравнение F (x, y, z) = 0, как правило,задает поверхность.x = (t)Система уравненийy = (t)задает кривую.z = (t)Аналитическая геометрия. Лекция 7Уравнения кривыхУравнение прямой на плоскостиВ пространстве уравнение F (x, y, z) = 0, как правило,задает поверхность.x = (t)Система уравненийy = (t)задает кривую.z = (t)Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойОпределение.Направляющим вектором прямой l называется любойненулевой вектор, параллельный прямой l.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойОпределение.Вектором нормали к прямой l называется любой ненулевойвектор, перпендикулярный прямой l.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойПараметрическое уравнение прямой на плоскостиТеорема.Пусть прямая l имеет направляющий вектор e = {ex, ey} ипроходит через точку M0 = (x0, y0). Тогда l задаетсяx = xуравнением0 + tex , называемым параметрическим.y = y0 + teyАналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойПараметрическое уравнение прямой на плоскостиДоказательство.Заметим, что точка M (x, y) лежит на прямой l тогда итолько тогда, когда M0Me.M0Me M0M = t · eПереходя к координатам, получим равенствоx x0 = texy y0 = teyАналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойКаноническое уравнение прямой на плоскостиТеорема.Пусть прямая l имеет направляющий вектор e = {ex, ey} ипроходит через точку M = (x0, y0). Тогда прямая l задаетсяуравнениемx x0y y0=,exeyназываемым каноническим.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойКаноническое уравнение прямой на плоскостиДоказательство.Параметрическое уравнение прямой l имеет видx = x0 + texy = y0 + teyВыразим параметр t из первого и второго уравнения:x x0t =exy y0t =eyи приравняемx x0y y0=.exeyАналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойКаноническое уравнение прямой на плоскостиЗамечание.x x0y y0В каноническом уравнение=допустимоexeyделение на 0. Означает это лишь то, что числитель дроби,знаменатель которой равен 0, обращается в ноль.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойУравнение прямой, проходящей через две точкиПусть прямая l проходит через точки M = (x0, y0) иN = (x1, y1). Тогда прямая l задается уравнениемx x0y y0=.x1 x0y1 y0Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойОбщее уравнение прямой на плоскостиТеорема.Пусть A2 + B2 = 0. Любое уравнение вида Ax + By + C = 0задает прямую. Любая прямая l может быть заданауравнением Ax + By + C = 0, называемым общим.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойОбщее уравнение прямой на плоскостиДоказательство.Дано уравнение Ax + By + C = 0, где A2 + B2 = 0. Пусть(x0, y0) — какое-либо решение этого уравнения. ТогдаAx0 + By0 + C = 0.Вычтем последнее равенство из исходного уравнения:()A(x x0) + B(y y0) = 0.Заметим, что уравнение () и исходное эквивалентны. Т.е. ихмножества решений совпадают.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойОбщее уравнение прямой на плоскости()A(x x0) + B(y y0) = 0.Преобразуем уравнение () к виду:x x0y y0=.BAДанное уравнение задает прямую на плоскости, так как{B, A} — ненулевой вектор.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойОбщее уравнение прямой на плоскостиПусть прямая l задана уравнениемx x0y y0=.exeyПреобразуем это уравнение уравнение:(x x0)ey = (y y0)ex.Раскроем скобки и приведем подобныеeyx exy + (y0ex x0ey) = 0.Обозначим: A = ey, B = ex, C = y0ex x0ey. Так как e = 0,то A2 + B2 = 0. Получим уравнение Ax + By + C = 0.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойОбщее уравнение прямой на плоскостиТеорема. (Геометрический смысл коэффициентов вобщем уравнении)Пусть прямая l задана уравнением Ax + By + C = 0. Тогдавектор n = {A, B} является вектором нормали.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойОбщее уравнение прямой на плоскостиДоказательство.На прямой l рассмотрим две произвольные точки M1(x1, y1)и M2(x2, y2). Так как M1, M2 l, тоAx1 + By1 + C = 0 .Ax2 + By2 + C = 0Вычтем из второго уравнения первое:A(x2 x1) + B(y2 y1) = 0.Последнее уравнение можно переписать в виде(n, M1M2) = 0, следовательно n M1M2, и, следовательноn l.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойПрямая на плоскостиПример.В треугольнике ABC найти уравнения медианы и высоты,проведенных из вершины B, если известны координатывершин A = (1, 1), B = (3, 2) и C = (5, 7).Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойРешение.Обозначим через K середину стороны AC. Тогда1 + 5 1 + 7K = (,) = (3, 3).22Медиана из вершины B проходит через две известные точкиB и K. Т.о. ее уравнение можно записать в видеx 3y 2=3 33 2Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойРешение.Обозначим через K середину стороны AC. Тогда1 + 5 1 + 7K = (,) = (3, 3).22Медиана из вершины B проходит через две известные точкиB и K. Т.о. ее уравнение можно записать в видеx 3y 2=3 33 2Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойx 3y 2=01Заметим, что в каноническом уравнение знаменатель можетбыть равен 0. Означает это лишь то, что числитель этойдроби должен обратиться в ноль.x 3 = 0Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойВысота из вершины B перпендикулярна вектору AC AC — вектор нормали.AC = {5 1, 7 (1)} = {4, 8}Т.о. общее уравнение высоты имеет вид4x + 8y + C = 0.Аналитическая геометрия. Лекция 7Параметрическое уравнение прямойУравнения кривыхКаноническое уравнение прямойУравнение прямой на плоскостиОбщее уравнение прямойТак как высота проходит через точку B = (3, 2), то имеетместо уравнение4 · 3 + 8 · 2 + C = 0Откуда получаем, что C = 28. Уравнение высоты имеетвид4x + 8y 28 = 0.Аналитическая геометрия. Лекция 7Document Outline