Пятница, 11.07.2025, 09:44 | Приветствую Вас Гость

Мой сайт

Главная » » Лекция Уравнение прямой на плоскости

23:24

Лекция Уравнение прямой на плоскости

Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
Аналитическая геометрия
Лекция 7. Уравнение прямой на плоскости
Сбродова Елена Александровна
19 октября 2011 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
Координатное уравнение кривых
Пусть на плоскости в некоторой системе координат дана
кривая l. Будем говорить, что l задается уравнением
F (x, y) = 0, тогда и только тогда, когда выполнены два
условия:
• Координаты любой точки на l удовлетворяют
уравнению F (x, y) = 0.
• Любое решение уравнения F (x, y) = 0 — точка на l.
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
Координатное уравнение кривых
x y = 0
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
Параметрическое уравнение кривых
Кривая l может быть задана системой уравнений
x = (t) , где t — параметр, принимающий любое
y = (t)
значение. Фиксировав параметр t, получим два числа —
координаты точки на прямой l.
Пример.
Биссектриса первого и третьего координатных углов может
быть задана параметричеки
x = t
y = t
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
Параметрическое уравнение кривых
Кривая l может быть задана системой уравнений
x = (t) , где t — параметр, принимающий любое
y = (t)
значение. Фиксировав параметр t, получим два числа —
координаты точки на прямой l.
Пример.
Биссектриса первого и третьего координатных углов может
быть задана параметричеки
x = t
y = t
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
• x2 + y2 = 1
x = cos t
•
y = sin t
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
x = sin 2t
Кривая Лиссажу:
y = cos 3t
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
В пространстве уравнение F (x, y, z) = 0, как правило,
задает поверхность.

x = (t)

Система уравнений
y = (t)
задает кривую.

z = (t)
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Уравнение прямой на плоскости
В пространстве уравнение F (x, y, z) = 0, как правило,
задает поверхность.

x = (t)

Система уравнений
y = (t)
задает кривую.

z = (t)
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Определение.
Направляющим вектором прямой l называется любой
ненулевой вектор, параллельный прямой l.
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Определение.
Вектором нормали к прямой l называется любой ненулевой
вектор, перпендикулярный прямой l.
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Теорема.
Пусть прямая l имеет направляющий вектор e = {ex, ey} и
проходит через точку M0 = (x0, y0). Тогда l задается
x = x
уравнением
0 + tex , называемым параметрическим.
y = y0 + tey
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Доказательство.
Заметим, что точка M (x, y) лежит на прямой l тогда и

только тогда, когда M0M
e.

M0M
e M0M = t · e
Переходя к координатам, получим равенство
x x0 = tex
y y0 = tey
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Теорема.
Пусть прямая l имеет направляющий вектор e = {ex, ey} и
проходит через точку M = (x0, y0). Тогда прямая l задается
уравнением
x x0
y y0
=
,
ex
ey
называемым каноническим.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Доказательство.
Параметрическое уравнение прямой l имеет вид
x = x0 + tex
y = y0 + tey
Выразим параметр t из первого и второго уравнения:

x x0

t =

ex
y y0

t =

ey
и приравняем
x x0
y y0
=
.
ex
ey
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Замечание.
x x0
y y0
В каноническом уравнение
=
допустимо
ex
ey
деление на 0. Означает это лишь то, что числитель дроби,
знаменатель которой равен 0, обращается в ноль.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая l проходит через точки M = (x0, y0) и
N = (x1, y1). Тогда прямая l задается уравнением
x x0
y y0
=
.
x1 x0
y1 y0
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Теорема.
Пусть A2 + B2 = 0. Любое уравнение вида Ax + By + C = 0
задает прямую. Любая прямая l может быть задана
уравнением Ax + By + C = 0, называемым общим.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Доказательство.
Дано уравнение Ax + By + C = 0, где A2 + B2 = 0. Пусть
(x0, y0) — какое-либо решение этого уравнения. Тогда
Ax0 + By0 + C = 0.
Вычтем последнее равенство из исходного уравнения:
()
A(x x0) + B(y y0) = 0.
Заметим, что уравнение () и исходное эквивалентны. Т.е. их
множества решений совпадают.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
()
A(x x0) + B(y y0) = 0.
Преобразуем уравнение () к виду:
x x0
y y0
=
.
B
A
Данное уравнение задает прямую на плоскости, так как
{B, A} — ненулевой вектор.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Пусть прямая l задана уравнением
x x0
y y0
=
.
ex
ey
Преобразуем это уравнение уравнение:
(x x0)ey = (y y0)ex.
Раскроем скобки и приведем подобные
eyx exy + (y0ex x0ey) = 0.
Обозначим: A = ey, B = ex, C = y0ex x0ey. Так как e = 0,
то A2 + B2 = 0. Получим уравнение Ax + By + C = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов в
общем уравнении)
Пусть прямая l задана уравнением Ax + By + C = 0. Тогда
вектор n = {A, B} является вектором нормали.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Доказательство.
На прямой l рассмотрим две произвольные точки M1(x1, y1)
и M2(x2, y2). Так как M1, M2 l, то
Ax1 + By1 + C = 0 .
Ax2 + By2 + C = 0
Вычтем из второго уравнения первое:
A(x2 x1) + B(y2 y1) = 0.
Последнее уравнение можно переписать в виде

(n, M1M2) = 0, следовательно n M1M2, и, следовательно
n l.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Прямая на плоскости
Пример.
В треугольнике ABC найти уравнения медианы и высоты,
проведенных из вершины B, если известны координаты
вершин A = (1, 1), B = (3, 2) и C = (5, 7).
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Решение.
Обозначим через K середину стороны AC. Тогда
1 + 5 1 + 7
K = (
,
) = (3, 3).
2
2
Медиана из вершины B проходит через две известные точки
B и K. Т.о. ее уравнение можно записать в виде
x 3
y 2
=
3 3
3 2
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Решение.
Обозначим через K середину стороны AC. Тогда
1 + 5 1 + 7
K = (
,
) = (3, 3).
2
2
Медиана из вершины B проходит через две известные точки
B и K. Т.о. ее уравнение можно записать в виде
x 3
y 2
=
3 3
3 2
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
x 3
y 2
=
0
1
Заметим, что в каноническом уравнение знаменатель может
быть равен 0. Означает это лишь то, что числитель этой
дроби должен обратиться в ноль.
x 3 = 0
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой

Высота из вершины B перпендикулярна вектору AC

AC — вектор нормали.

AC = {5 1, 7 (1)} = {4, 8}
Т.о. общее уравнение высоты имеет вид
4x + 8y + C = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Параметрическое уравнение прямой
Уравнения кривых
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой
Так как высота проходит через точку B = (3, 2), то имеет
место уравнение
4 · 3 + 8 · 2 + C = 0
Откуда получаем, что C = 28. Уравнение высоты имеет
вид
4x + 8y 28 = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 7

Document Outline

1
2
3
4
5

Просмотров: 3981 | Добавил: lmoned | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Меню сайта

Мини-чат

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Форма входа

Поиск

Календарь

Друзья сайта

Официальный блог

Сообщество uCoz

FAQ по системе

Инструкции для uCoz