Следующая задача Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Аналитическая геометрия
2. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ
2.2. Уравнения прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 19).
Под углом наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.
Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 19).
Проведем через точку N ось Nx', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью Nx' и прямой равен a. В системе Nx'y точка М имеет координаты х и у - b. Из определения тангенса угла следует равенство т.е. Введем обозначение и получаем уравнение
(5)
которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (5) не удовлетворяют.
Число k = tg a называется угловым коэффициентомпрямой, а уравнение (5) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = kx.
Если прямая параллельна оси Ох, то a=0, следовательно, k = tg a= 0 и уравнение (5) примет вид у = b.
Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (5) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент - не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
x = a, (6)
где a - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (5) и (6) есть уравнения первой степени.
Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде
Ax + By + C = 0, (7)
где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.